Exercice d'olympiade en arithmétique

[invite2da984e1]

Bonjour,

Je vous propose l'exercice suivant avec pour thème la divisibilité.

Prouver que pour tout entier supérieur ou égal à 2, 2^n ne divise pas (3^n)+1.
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[invite0a963149]

Salut

Récurrence pas bien dure a mon avis

Ciao

[invitea3eb043e]

Demande-toi à combien est congru 3^n modulo 8

[invite2da984e1]

La récurrence ne me paraît pas évidente.
Il y a une solution en deux lignes en étudiant la congruence de 3^n +1 modulo 4 puis modulo 8 selon si n est respectivement pair ou impair.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0a963149]

les congruences me semblent plus rapide, mais vu que ça fait longtemps que j'y ai pas touché, je prefere proposer des méthodes que je trouve actuellement plus facile.

Mais vous avez raison

[invitea3eb043e]

La récurrence ne me paraît pas évidente.
Il y a une solution en deux lignes en étudiant la congruence de 3^n +1 modulo 4 puis modulo 8 selon si n est respectivement pair ou impair.

On peut se satisfaire du modulo 8 à condition de traiter à part le cas n=2