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Exercice d'olympiade en arithmétique



  1. #1
    isma.lem

    Exercice d'olympiade en arithmétique

    Bonjour,

    Je vous propose l'exercice suivant avec pour thème la divisibilité.

    Prouver que pour tout entier supérieur ou égal à 2, 2^n ne divise pas (3^n)+1.

    -----


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  3. #2
    blablatitude

    Re : Exercice d'olympiade en arithmétique

    Salut

    Récurrence pas bien dure a mon avis

    Ciao

  4. #3
    Jeanpaul

    Re : Exercice d'olympiade en arithmétique

    Demande-toi à combien est congru 3^n modulo 8

  5. #4
    isma.lem

    Re : Exercice d'olympiade en arithmétique

    La récurrence ne me paraît pas évidente.
    Il y a une solution en deux lignes en étudiant la congruence de 3^n +1 modulo 4 puis modulo 8 selon si n est respectivement pair ou impair.

  6. #5
    blablatitude

    Re : Exercice d'olympiade en arithmétique

    les congruences me semblent plus rapide, mais vu que ça fait longtemps que j'y ai pas touché, je prefere proposer des méthodes que je trouve actuellement plus facile.

    Mais vous avez raison

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Jeanpaul

    Re : Exercice d'olympiade en arithmétique

    Citation Envoyé par isma.lem Voir le message
    La récurrence ne me paraît pas évidente.
    Il y a une solution en deux lignes en étudiant la congruence de 3^n +1 modulo 4 puis modulo 8 selon si n est respectivement pair ou impair.
    On peut se satisfaire du modulo 8 à condition de traiter à part le cas n=2

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