Exercice Bilan arithmétique
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Exercice Bilan arithmétique



  1. #1
    invite9a322bed

    Exercice Bilan arithmétique


    ------

    Bonjour,
    J'ai des petites difficultés sur un exo bilan voici l'énoncé :
    Partie A

    1) Prouver que 59 est un nombre premier.
    2) Donner la décomposition de 2006 en facteurs premiers.
    3) On se propose de résoudre l'équation (E): avec .
    a) Quel théorème permet d'affirmer que l'équation (E) a au moins un couple de solution d'entiers relatifs. Vérifier que est une solution particulière de (E).
    b) En déduire que l'ensemble des couples solution est l'ensemble des couples de la forme .
    c) N est un entier naturel
    Quand on le divise par 34, on obtient 3 comme reste.
    Quand on le divise par 59, on obtient 7 comme reste.
    Prouver que; quand on le divise par 2006, le reste est égal à 479.

    Partie B



    Soit pour , , entier naturel composé de n chiffres 3, suivis du chiffre 1.
    1) En justifiant votre réponse, donner trois nombres premiers qui n'admettent aucun terme de la suite comme multiple.
    2) a) Prouver que .
    b) En justifiant votre réponse donner un quatrième nombre premier qui n'admet aucun terme de la suite comme multiple.
    c) Que peut-on dire du PGCD de deux termes consécutifs ?
    3) Dans cette question, on se propose de trouver que 34 divise .
    a) Vérifier que 2 divise .
    b) Justifier que .
    c) En déduire que
    d) Conclure
    4)On admet que 59 divise
    Quel est le reste de la division de par 2006 ?

    Je bloque dans la partie A 3 , et B 2 b,c, 3 d et 4.

    -----

  2. #2
    Arkangelsk

    Re : Exercice Bilan arithmétique

    Bonjour,

    Est-ce que tu connais l'identité de Bézout ?

  3. #3
    invite9a322bed

    Re : Exercice Bilan arithmétique

    Oui oui, j'ai oublié de préciser dans la 3c !

  4. #4
    invite57a1e779

    Re : Exercice Bilan arithmétique

    Bonjour mx6,

    Je ne comprends pas ce qui peut te gêner dans A3...

    B2b : n'est pas divisible par 7...

    B2c : Intéresse-toi à ...

    B3d : .

    B4 : Revoir la partie A.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite9a322bed

    Re : Exercice Bilan arithmétique

    Donne moi un indice pour la A c, ca m'enerve de me bloquer sur des trucs comme ça !! :X

  7. #6
    invite2220c077

    Re : Exercice Bilan arithmétique

    Salut,

    L'entier vérifie les congruences suivantes :




    ou encore




    Soit par différence :

    Tu utilises les résultats des questions précédentes pour montrer ce qu'il y'a à montrer.

  8. #7
    invite9a322bed

    Re : Exercice Bilan arithmétique

    Zweig, j'avais deja fais ce que tu me propose, mais je ne sais pas comment continuer, c'est ça le probleme

  9. #8
    invite57a1e779

    Re : Exercice Bilan arithmétique

    Je change les notations de Zweig

    L'entier s'écrit , donc .

    Tu sais donc que , d'où , ce qui permet de trouver le reste dans la division par 2006.

  10. #9
    invite9a322bed

    Re : Exercice Bilan arithmétique

    Oui merci beaucoup je me rend compte de ma débilité ! je remplaçais x et y en même temps bref n'importe quoi ! J'attaque la partie B !

  11. #10
    invite9a322bed

    Re : Exercice Bilan arithmétique

    Pour la 2b, je ne vois comment justifier , et pour le PGCD, bah j'ai suivi ton indication, mais je sais pas comment faire !

  12. #11
    invite57a1e779

    Re : Exercice Bilan arithmétique

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Pour la 2b, je ne vois comment justifier , et pour le PGCD, bah j'ai suivi ton indication, mais je sais pas comment faire !
    Pour le 2b : est-il divisible par 7 ?

    Pour le PGCD : il divise et , donc il divise (c'est la base de l'algorithme d'Euclide).

  13. #12
    invite9a322bed

    Re : Exercice Bilan arithmétique

    3Un n'est pas divisible par 7, car 10^n-7 non plus.
    Pour le PGCD, j'avais totalement oublié cela !

  14. #13
    invite9a322bed

    Re : Exercice Bilan arithmétique

    Désolé mais je bloque sur la d ! je ne sais pas ce qui m'arrive =(, est ce que c'est l'exercice qui est dure ou moi le mal reveillé ?

  15. #14
    invite9a322bed

    Re : Exercice Bilan arithmétique

    Problème résolu !! Merci God's Breath !!
    Meme si ton indication pour la d, n'était pas tout à fait vrai

  16. #15
    invite57a1e779

    Re : Exercice Bilan arithmétique

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Meme si ton indication pour la d, n'était pas tout à fait vrai
    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    B3d : .
    On a donc : , et est divisible par 17.

    Comme est divisible par 2, et que 2 et 17 sont premiers entre eux, il est divisible par 2.17=34.

  17. #16
    invite9a322bed

    Re : Exercice Bilan arithmétique

    Plus facile
    Donc
    Soit et et enfin la conclusion .

    Voilà

  18. #17
    invite57a1e779

    Re : Exercice Bilan arithmétique

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Soit et
    Le passage de la première à la deuxième congruence est assez litigieux, bien que valide.

  19. #18
    invite9a322bed

    Re : Exercice Bilan arithmétique

    Oui je sais, les divisions dans les congruences ne sont pas tolérées car des fois le modulo doit être divisé aussi !

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