1S Image de droite par homothétie

[invitea7369f8e]

Bonjour,

Voila l'énoncé pour lequel j'ai quelques problèmes :

ABC est un triangle. A',B',C' sont les milieux respectifs des cotés [BC], [AC] et [AB]. I est le projeté orthogonal de A sur (BC). H est l'orthocentre du triangle ABC, O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. G est le centre de gravité du triangle ABC
h est l'homothetie de centre G et de rapport -1/2

1. Démontrer que l'image de (AI) par h est la médiatrice de [BC]
2.Préciser sans démonstration les images des deux autres hauteurs du triangle ABC par h.
3. En utilisant l'homothétie h, démontrer que les points O,G et H sont alignés.

Voila, j'ai tracé la figure mais le problème que j'ai avec les homothétie c est de visualiser .

Pour la question 1) j'ai penser a trouver les image de A et I par h mais ça n'aboutit pas

Pour la question 2) c'est même chose que la 1) ?

Et pour la question 3) Je pense qu'il faut montrer que H et l'image de O par G mais encore une fois je n'arrive pas à le démontrer

Merci
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[invite3cc91bf8]

Bonjour,

Introduction : se rappeler ce que fait une homothétie : le point M' est l'image du point M par l'homothétie de centre O et de rapport k si et seulement si .

Démonstration de la question 1 :
L'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle à la droite d'origine (conséquence du théorème de Thalès)
donc l'image de (AI), qu'on nommera d, est parallèle à (AI)

On sait que d // (AI) et que (AI) (BC) (car I est la projection de A sur (BC))
or si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre
donc on en conclut que d (BC)

Si tu as fait ta méthode des images, tu as du trouver que l'image de A par h est le point A', le milieu de [BC]

On a donc d (BC) et d passe par le milieu de [BC], donc d est la médiatrice de (BC)

[invitea7369f8e]

Merci pour ta réponse, en fait je m'étais dit qu'il fallait chercher la réponse à l'aide seulement de l'homothétie et non avec les définitions sur le parallélisme.

Par contre je n'arrive pas a démontrer pour la question 3) (les points O,G et H alignés). Je sais qu'il faut utiliser le fait qu un point est l image de l autre par h et conclure sur le fait qu un point le centre de l'homothétie et son image sont alignés. Le problème c'est que je n'arrive pas à me lancer dans la rédaction ...

[invite3cc91bf8]

Dans la question 2, tu as donc trouvé les images.
En toute logique, elles devraient servir !
Je vais essayer de le faire de mon coté, n'hésite pas à mettre ce que tu sais et ce que tu veux démontrer, ça aide .

[A voir en vidéo sur Futura]

[DarK MaLaK]

Salut, les images des hauteurs par h sont les médiatrices. Donc l'image de H, qui appartient aux trois hauteurs, doit appartenir aux trois médiatrices. Par conséquent, c'est O.