fonction

[invite2c80e02a]

Bonsoir à tous, pouvez vous m'aider svp?

est-ce que la dérivée de ln(1+xe^(-x) est (-e^(-x))/(1+xe^(-x))?

Comment peut-on montrer que le signe de f'(x) est celui de 1-x


Merci.
-----

[Seirios]

Bonsoir,

est-ce que la dérivée de ln(1+xe^(-x) est (-e^(-x))/(1+xe^(-x))?

Non, tu as dû faire une erreur de calcul. Tu dois trouver .

Comment peut-on montrer que le signe de f'(x) est celui de 1-x

Avec l'expression correcte de la dérivée, c'est assez simple.

[invite2c80e02a]

oui mais j'ai utilisé la formule (ln(x))'= x'/x

donc je trouve f'(x)=(-e^(-x))/(1+xe^(-x)

Pouvez vous m'aider svp? Merci

[Seirios]

Mais en dérivant , cela donne (puisque (uv)'=u'v+uv').

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2c80e02a]

je ne comprends pas comment on trouve .(1-x)/(1+e^x)?

[invite371ae0af]

moi je trouve comme dérivée:
(e^(-x) (-x+1))/(1+xe^(-x))

[invite371ae0af]

en faite seirios à effectuer une factorisation par e^(-x) au dénominateur mais normalement au tout début tu dois trouver comme moi

[invite48ca7510]

Salut,

tu as ln(1+xe^-x) = ln(u) avec u(x) = 1+xe^-x = 1 + i.j avec i(x) = x et j(x) = e^-x.

u'(x) = i'j + ij' = 1 + e^-x -xe^-x = e^-x(1-x)

donc (ln(u))' = (en factorisant en bas par e^-x)

Je trouve ça comme dérivée.
Ensuite, le signe de f'(x) est donné par le signe de 1-x car le dénominateur est positif.

[invite371ae0af]

il me semble que tu as oublié un x au dénominateur

[invite2c80e02a]

merci beaucoup.

Comment montre-t-on que la lim (x=> + oo) ln(1+xe^(-x))=O

j'ai trouvé que la lim(x=> +oo) ln(1)= 0

mais pour celui de (xe^(-x), je n'arrive pas à démontrer?

Pouvez vous m'aider svp?

[invite2c80e02a]

Pouvez vous m'aider svp?

[pallas]

xfois e^(-x)= x fois (1/e^x) et l'exponentielle l'emporte sur x au voisinage de l'infini donc limite de (x/e^x)=0

[invite152a412d]

Bonjour,

Il suffit juste d'utiliser les croissances comparées et de dire qu'en l'infini l'exponentielle l'emporte sur x donc on a :

donc on a

[Seirios]

Ton équivalent est faux : si tu fais les rapports des deux membres, la limite ne vaudra pas 1.

[invite3c51923e]

Oui l'équivalent est faux et surtout on ne les voit pas au lycée.
Il faut juste utiliser les croissances comparées que l'on a du te donner:
constante << logarithmique << linéaire << polynomial << exponentielle << factorielle (même si je ne crois pas que l'on voit ce dernier au lycée).