Géométrie dans l'espace

[invite01ec89f8]

Bonjour, voilà il se trouve que j'ai un exercice de maths à faire pour demain mais je bloque sur une question.

Soit les droites d et d' de représentation paramétriques :

Pour d : x = 1 - 2k
y = 2 - 2k (kER)
z = k

Pour d' x = 8 - t
y = 2t (tER)
z = 1 - t

1. Montrer que ces droites ne sont pas parallèles.
Ici pas de problème, j'ai utilisé les vecteurs directeurs des droites que j'obtiens grâce aux valeurs de k et de t.
J'obtiens respectivement u (-2;-2;1) et u' (-1;2;-1) : Il s'agit de vecteurs.
Ensuite je montre qu'il ne sont pas colinéaire en montrant qu'il n'existe pas de coefficient de colinéarité en les deux vecteurs.

Mon problème se pose ici :
2. Déterminer l'intersection de ces droites.

Je vous remercie d'avance
-----

[invite3c51923e]

Si il y a une intersection, alors le point d'intersection appartient aux deux droites.
Donc il existe t et k tq : x = 1 - 2k = 8-t
Tu fais ça pour les autres coordonnées et obtient un beau systeme.

[invite3cc91bf8]

En fait, il y a deux possibilités : en effet, tu as montré qu'elles ne sont pas parallèles, donc il reste :
- sécantes, donc leur intersection est un point.
- non coplanaires, donc leur intersection est vide.
Et le seul moyen, c'est de résoudre le système :

Si il y a une unique solution, alors elles sont sécantes en un point dont on peut calculer les coordonnées
Si tu trouves un résultat pour n'importe quelle valeurs de t ou de k, alors il y a une infinité de solution, donc soit on s'est gouré dans le système, soit dans le calcul des vecteurs car ça veut dire qu'elles sont confondues.
Pas de solution, il reste les parallèles et les non-coplanaires.

[invite01ec89f8]

Oui merci, cela fonctionne bien je résous le système et obtient k=-2, ainsi je remplace k dans les coordonnées de d et ainsi j'obtiens les coordonnées du point d'intersection.

[A voir en vidéo sur Futura]