Bonjour,
Soient (D1) et (D2) deux droites non coplanaires dans l'espace.
Un vecteur directeur de (D1) est (-1;0;1).
(D1) passe par le point B(1;1;0).
Un vecteur directeur de (D2) est (0;1;1).
(D2) passe par le point C(1;0;0).
Soit A(2;1;1).
En utilisant le produit vectoriel, je souhaite déterminer un système d'équations cartésiennes de l'unique droite (D) qui passe par A et qui coupe (D1) et (D2).
Sans utiliser le produit vectoriel, j'ai démontré que (D): y=z=1.
Voici le début de mon raisonnement:
Soit le vecteur u(a;b;c) un vecteur directeur de (D).
Je souhaite déterminer a;b et c.
Par hypothèse (D) et (D1) sont sécantes, donc elles sont coplanaires et appartiennent au plan (P1).
En utilisant le produit vectoriel, j'en déduis un vecteur normal à (P1) qui me donne son équation cartésienne :
(P1): bx-(a+c)y+bz=d (où d est réel)
Mais par hypothèse A appartient à (P1).
J'en déduis que : (P1) : bx-(a+c)y+bz=3b-a-c.
De même, je pose (P2) le plan qui contient (D) et (D2).
J'en déduis : (P2): (b-c)x -ay+az=2b-2c (en utilisant les coordonnées du point A.)
(D) est l'intersection de (P1) et (P2).
Je resous donc un système d'équations cartésiennes qui me donne :
z=1
et : y=x-1.
Les coordonnées de A vérifient bien ce système.
Mais je n'ai pas prouvé que z=y ...
Et cela est même contradictoire avec la réponse car on sait que: x n'a pas de valeur fixe d'après la réponse, donc ici: y non plus...
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