géométrie dans l'espace - TS

[invite2642877c]

Bonjour bonjour !

Alors voilà, je voulais un petit peu d'aide pour un exercice de géométrie dans l'espace. C'est pas que je n'y comprend rien, mais en l'occurence, mon cerveau bug complètement...

J'ai deux plans : (P) x+2y-z-4=0 et (Q) 2x+3y-2z-5=0

Je dois démontrer que l'intersection des deux plans est une droite et en trouver une représentation paramétrique. Mais voilà, je n'ai pas de vecteur colinéaire, pas de points appartenant aux deux plans...
J'ai essayé de résoudre le système d'équation, puis de supposer l'existence d'un point H tel ses coordonnées vérifient les deux équations, mais pas moyen... Mes élucubrations mentales sont complètement vaines...

Quelqu'un peut m'aider ???

Merci bien
-----

[invite97a92052]

Salut,

Je ne sais plus exactement quelle méthode on t'a préconisé, mais de tes 2 équations, tu peux directement trouver des vecteurs normaux aux plans.

Si ces vecteurs ne sont pas colinéaires, alors l'intersection est une droite.
(si ils étaient colinéaires, alors l'intersection peut être soit un plan, soit l'ensemble vide)

Ensuite, si tu veux trouver des points appartenant aux 2 plans, je te conseille de mettre ton système sous la forme :

A*x + B*y + C*z = D
E*y + F*z = G

Tu trouves un couple (y, z) qui vérifie la seconde équation.
Ensuite, tu trouves x tel que (x, y, z) (avec les y et z que tu as trouvés) vérifie la première.

Si tu veux un autre point, tu peux refaire la même manip, en cherchant un autre couple (y, z)

[invite2642877c]

Okidoki !

Merci beaucoup, je suis libérée maintenant !! Enfin jusqu'au prochain exercice du moins. Je n'avais pas pensé à utiliser les vecteurs normaux. Tu me diras, je n'était absolument pas au courant que l'intersection serait une droite s'ils n'étaient pas colinéaires...

Mais merci encore, je pourrais peut-être l'utiliser demain pour mon bac blanc =D

[invite2642877c]

Au fait, dans quel cas, si les deux vecteurs normaux sont colinéaire, l'intersection est l'ensemble vide??
Enfin, ça peut paraître bête comme question mais j'ai un gros doute : les plans, on ne peut pas les "déplacer", comme les vecteurs par exemple? Dans ce cas, oui c'est sûr que si les vecteurs normaux sont colinéaire et que les plans ne sont pas confondus, leur intersection est l'ensemble vide...

Merki

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9deac964]

a t-on avis imaginons un plan x=1 ou tout les points coplanaires auront pour abscisse 1 si tu déplace le plan ca marche plus !!

[invite97a92052]

Au fait, dans quel cas, si les deux vecteurs normaux sont colinéaire, l'intersection est l'ensemble vide??
Enfin, ça peut paraître bête comme question mais j'ai un gros doute : les plans, on ne peut pas les "déplacer", comme les vecteurs par exemple? Dans ce cas, oui c'est sûr que si les vecteurs normaux sont colinéaire et que les plans ne sont pas confondus, leur intersection est l'ensemble vide...

Merki

Oui, tu as répondu toi même à ta question
Si les vecteurs normaux sont colinéaires, 2 cas :
- les deux plans ont un point en commun, alors ils ont TOUS leurs point en commun => l'intersection est... eux même
- sinon, aucun point en commun : les deux plans sont parallèles, et ne s'intersectent jamais

Par contre, je ne sais pas trop ce que tu entends par "déplacer" un plan, mais ce qui est sur, c'est que si tu déplaces un plan selon un vecteur dont le produit scalaire avec le vecteur normal n'est pas nul, alors le plan obtenu a une équation différente. (j'espère que je ne t'effraie pas avec le produit scalaire, il faut juste se visualiser la chose)
Par contre, si tu le déplaces selon un vecteur qui est perpendiculaire au vecteur normal (produit scalaire nul), alors ton plan n'a globalement pas bougé (par contre, tous ses points ont bougé, on est bien d'accord !)

[invite2642877c]

Oui oui, je vois... *en pleine réflexion* donc tous mes points bougent, et leurs coordonnées sont proportionnelles à leurs coordonnées de départ, puisque mon plan se déplce selon un vecteur... Est-ce que le coefficient de proportionnalité est les coordonnées du vecteur de déplacement? Je m'explique :

Par exemple, j'ai un point M(x;y;z) du plan que je vais déplacer (appelons le (P) ) selon un vecteur v(a;b;c). Est-ce que les coordonnées du nouveau point M seront (k*a*x ; k*b*y ; k*c*z) (k est un réel, parce que ça dépend de combien de fois j'ai fais mon déplacement de vecteur v) ?

En espérant que je suis compréhensible... Je me pose pas mal de questions saugrenues, ça me perdra !!!

[invite97a92052]

Non, ne cesse pas de te poser des questions, c'est comme ça qu'on progresse

Avant de te bazarder la réponse à ta question, sortons du problème initial.

Question : le résultat d'une translation d'un point M(x, y, z) par un vecteur v(a, b, c), qu'est-ce que c'est ?

[invite2642877c]

C'est le point M'(x';y':z'), tel que MM'=v

Ah ben oui, donc

x'= a+x
y'=b+y
et z'=c+z

C'est évident !
Donc rien à voir avec ma proportionnalité