Etude d'une suite à récurrence sur deux termes

[invitec8d113ca]

Bonjour,
comme toujours les dm de maths me posent de gros problèmes mais celui-ci me pose un énorme problème.
Alors comme je suis très gentil je partage ce problème avec tout ceux qui voudront bien se pencher dessus...^^
Voici l'énoncé:
On se propose d'étudier la suite (un) définie par
u₀=0 ; u₁=1 et pour tout entier naturel n, u_n+1=7u_n+8u_n-1

a) Calculer u₂ et u₃

b) Montrer que la suite (S_n) définie par S_n=u_n+1+u_n est une suite géométrique dont on précisera la raison.
En déduire S_n en fonction de n.

c)On pose pour tout entier naturel n, v_n=(-1)ⁿu_n et on considère la suite (t_n) définie par t_n= v_n+1-v_n.
Exprimer tn en fonction de Sn.

d)Exprimer v_n puis un en fonction de n(on pourra calculer de deux manières la somme t₀+t₁+...+t_n).

Et maintenant voici les quelques réponses que je peux pour l'instant apporter...

a) u2=7u1+8u0
=7*1 + 8*0
=7

u3=7u2+8u1
=7*7 + 8*1
=57

b)Pour prouver qu'une suite est géométrique on fait u_n+1/ u_n
Ce qui nous donne
S(n+1)/S(n)
=(7u_n+1 + 8u_n + u_n+1)/(u_n+1+u_n)
= (8u_n+1+8u_n) / (u_n+1+u_n)
= 8(u_n+u_n)/(u_n+1+u_n)
= 8
Mais ensuite je ne vois pas comment exprimer S(n) en fonction de n... Et puis pour les autres questions je n'y comprends rien du tout
Si quelqu'un pouvait m'aider se serait vraiment sympa.
Merci d'avances pour vos réponses.
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[invitead1578fb]

Bonjour,

je n'ai pas vérifié l'exactitude de tes calculs, donc en admettant que:
(q=8 dans ton cas)

on peut déduire que:

, donc

donc



tu peux déduire assez facilement le "quelque chose en fonction de n" et le grâce aux premiers termes calculés.

Bonne continuation et bonne soirée
Blable

[invitec8d113ca]

Bonsoir Blable !

Merci beaucoup de ta réponse qui m'a permis d'avancer.
Voici d'après ce quue tu m'as dit, ce que j'en est conclu:
S(n)=8^n S(0)
avec S(0)=u(1)+u(0)
= 1+0
=1
d'où S(n) = 8^n
Pour la suite des questions, j'ai pu continuer le dm avec une amie et nous l'avons fini !!!^^

Merci encore pour ton aide!

Bonne soirée. = )

Alexou