exercices d'olympiades pour les t.c

[invite27f9a754]

bonjour
je vous propose ces exercices que je n'ai po réussi à résoudre
le premier:
démontrez que: a+b+c < (a+b-c)^2+(a-b+c)^2+(-a+b+c)^2+3/4

le deusième:
sachant que z+t+y+x=2 et que z;y;t;x sont tous supérieure à -1
démontrez que 1/2 <x^3+z^3+t^3+y^3
:
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[Jeanpaul]

Considère l'expression S = (a+b-c)² + (b+c-a)² + (c+a-b)²- 3 (a+b+c) +3/4
Il s'agit de montrer que S>= 0.
On se représente S d'abord comme une fonction de a et on calcule dS/da (dérivée partielle) : dS/da = 2(c-b) et pareil par permutation circulaire a devient b, etc..
On voit que S est maximale si a=b=c quand toutes les dérivées sont nulles.
On calcule S pour a=b=c.
La suite est triviale.

Le second exo peut être abordé de manière très similaire.

[invite27f9a754]

Considère l'expression S = (a+b-c)² + (b+c-a)² + (c+a-b)²- 3 (a+b+c) +3/4
Il s'agit de montrer que S>= 0.
On se représente S d'abord comme une fonction de a et on calcule dS/da (dérivée partielle) : dS/da = 2(c-b) et pareil par permutation circulaire a devient b, etc..
On voit que S est maximale si a=b=c quand toutes les dérivées sont nulles.
On calcule S pour a=b=c.
La suite est triviale.

Le second exo peut être abordé de manière très similaire.

merci pour votre réponse mais est elle adressée au niveau t.c ou b1 plus haut parce que franchement j'ai rien compris

[ansset]

Considère l'expression S = (a+b-c)² + (b+c-a)² + (c+a-b)²- 3 (a+b+c) +3/4
Il s'agit de montrer que S>= 0.
On se représente S d'abord comme une fonction de a et on calcule dS/da (dérivée partielle) : dS/da = 2(c-b) et pareil par permutation circulaire a devient b, etc..
On voit que S est maximale si a=b=c quand toutes les dérivées sont nulles.
On calcule S pour a=b=c.
La suite est triviale.
.

bonjour,
pourquoi (-3)
sinon en developpant on peut trouver une equation du second degré en x=a+b+c avec un troisième terme dependant de a²+b²+c².
en cherchant les racines , on abouti au resultat.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Les Olympiades, ce n'est pas supposé être facile et ça peut faire appel à des notions pas familières.
Je vais expliquer autrement. Prends l'expression
S = (x+b-c)² + (b+c-x)² + (c+x-b)²- (x+b+c) +3/4
où, simplement j'ai appelé x la variable que je ferai varier. En effet, je voudrais montrer que S est toujours positif, un peu comme si j'étudiais la fonction F(x) = A x² + B x + C.
Je calcule donc la dérivée dS/dx et ça me donne dS/dx = 2(x+b-c) -2 (b+c-x) + 2(c+x-b) -1
S sera minimale quand dS/dx=0 donc x= (b+c)/3 +1/6
On revient à l'idée que x c'est en fait la variable a et que tout ça ce n'était que pour faciliter la lecture.
a = (b+c)/3 + 1/6
Bien entendu, on va refaire le même calcul en faisant varier b puis c. Pas la peine de réécrire le calcul, il suffit de changer a en b, b en c et c en a (permutation circulaire)
b = (c+a)/3 + 1/6
c = (a+b)/3 +1/6
On va additionner ces 3 équations et ça donne facilement (a+b+c)=3/2
A partir de là, on trouve directement que a = b = c = 1/2
On calcule alors S pour ces valeurs et ça donne zéro, comme par hasard.
Et c'est bien un minimum car on voit tout de suite que si a = 1 million , b=0, c=0, S sera positif.


Remarque pour ansset : j'ai corrigé une faute de frappe.

[ansset]

re jeanpaul,
je n'ai pas mis en cause ta démonstration.
j'en proposais une alternative en prenant comme variable a+b+c...

[Jeanpaul]

re jeanpaul,
je n'ai pas mis en cause ta démonstration.
j'en proposais une alternative en prenant comme variable a+b+c...

... ce qui est a priori plus opportun afin de ne pas troubler l'équivalence entre a, b et c, mais moins intuitif.