Bonjour à tous,
je viens de passer mon bac et m’apprête à donner des cours de maths a des personnes de ma famille.
J'aimerais donc savoir comment "fabriquer" des fonctions, à savoir : faire des fonctions croissantes / décroissantes sur tel ou tel intervalle, des fonctions définies uniquement sur tel intervalle (par exemple, R+*, comme la fonction (x1/2)' ).
Les variations dépendent-elles du degré du monôme le plus élevé ?
Merci d'avance pour votre aide !
Lechero.
tu penses aux fonctions de base que tu connais
as tu un exemple précis?
Bonjour,
Pour te restreindre a une demi droite prend des fonctions racines, pour ôter un point ou plusieurs, des fonctions rationnelles, pour te restreindre à un segment un fonction du type (1-x^2)^(1/2) peut aider, etc...
Bonsoir,
@369 : en fait je voudrais les faire travailler sur des fonctions que j'aurais "créées" moi-même, pas les fonctions de références par exemple
@Roberto : je savais déjà ce que tu m'as donné, sauf le dernier cas (d'ailleurs, je ne vois pas en quoi c'est un segment).
En gros, je sais que les courbes du genre "x² + ..." sont des paraboles, que les 1/... sont des hyperboles, ... mais je voudrais par exemple créer une fonction décroissante sur ]-oo, k], croissante sur [k,b] et décroissante sur [b,a] avec k, b et a des réels, et où la courbe admettrait des asymptotes...
Vous voyez ?
Merci d'avance !
Bonjour,
La courbe avec racine que te propose Roberto n'est définie que sur [-1;1].
La fonction x-> ln(x²+1)/x décroît, croît puis décroît et elle a une asymptote y=0 en +/- oo. à vérifier !, mais dérivée pas facile à étudier ... (l'asymptote c'est faisable, bon exercice)
la fonction x -> (x+1)/(x**2+1) a le même comportement mais elle devrait être plus facile à étudier!
(en cherchant un peu je suis tombé sur e^(-x²)(x^3+3x²+1) qui m'a bien étonné (voir logiciel de traçage de courbes): les montagnes russes!)
Bonjour.Attention aux erreurs que tu pourrais commettre en sortant du classique.Envoyé par Lechero
Essaie avec des fonctions du genreEn gros, je sais que les courbes du genre "x² + ..." sont des paraboles, que les 1/... sont des hyperboles, ... mais je voudrais par exemple créer une fonction décroissante sur ]-oo, k], croissante sur [k,b] et décroissante sur [b,a] avec k, b et a des réels, et où la courbe admettrait des asymptotes...avec
Ou encore le quotient (fonction rationnelle) de deux polynômes de degré supérieurs ou égaux à 2.
Duke.
bonjour,Bonjour.Attention aux erreurs que tu pourrais commettre en sortant du classique.
Essaie avec des fonctions du genre
Ou encore le quotient (fonction rationnelle) de deux polynômes de degré supérieurs ou égaux à 2.
Duke.
salut Duke, je plussoie et complete un tout petit peu.
Lechero, tu peux construire plein de fonctions du type:
P(x)/Q(x), avec P(x) et Q(x) deux polynomes de degrés identiques ou différents.
sans rentrer dans les log et les exp.
un ratio de polynomes t'offre beaucoup de perspectives de minima, d'extréma et d'asymptotes en tout genre.( verticale, horizontale, obliques.)
de plus cette approche permet de compliquer progressivement les exercices.
Bonjour à vous,
et merci pour vos réponses.
Cependant, définir une fonction avec P(x)/Q(x) où P(x) et Q(x) sont deux polynômes de degrés supérieurs ou égaux à deux n'entrainerait-elle pas un calcul de signe de la dérivée assez embêtant ? (degré 3 au numérateur par exemple)
Merci encore!
je te cite :
crois-tu que a dérivée d'une telle fonction soit immédiate ?
Un polynôme de degré 3 oui, mais la limite en +oo est +/- oo, et non un nombre fini...
@Lechero
la dérivée d'une fonction rationnelle P/Q étant (P'Q-PQ')/Q², son signe dépend de celui du numérateur, qui est un polynôme, et effectivement il n'est pas facile d'étudier le signe d'un polynôme dès que le degré est supérieur ou égal à 3.
Concernant la question du comportement des fonctions (ensemble très vaste, même si on se "contente" des fonctions usuelles du lycée et de celles qu'on obtient à partir d'elles par somme, produit, quotient et composition), peut-être qu'on peut déjà commencer par examiner les fonctions polynômes:
Elles sont définies sur R, elles tendent vers +/- oo en l'oo, elles ne présentent ni asymptote horizontale, ni verticale. Et à part les fonctions polynômes de degré 1, elles ne présentent pas d'asymptote oblique.
Parmi elles on peut en trouver qui ont le comportement /\/\ ... qu'on veut:
/ ou \: x-> ax+b (a différent de 0)
/\ ou \/: x-> ax²+bx+c (a différent de 0)
/\/ ou \/\: x -> a(x-x1)(x-x2)(x-x3) (un polynôme de degré 3 ayant 3 racines distinctes)
/\/\ ou \/\/ : x -> a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4) (un polynôme degré 4
ayant 4 racines distinctes)
etc.
Remarque: pour chaque cas j'ai pu trouver une fonction mais le choix est vaste:
exemples:
/ ou \ est aussi le comportement d'une fonction de degré 3 dont le polynôme associé n'a qu'une racine. , ex: x->x^3
/\ est aussi le comportement de certaines fonctions polynôme de degré 4 comme x-> -(x^4)
/\/ est aussi le comportement d'une fonction polynôme de degré 3
dont le polynôme associé n'a qu'une racine, ex: x-> x^3+x²+1
etc.
Re-
En fonction de la fonction que tu veux "créer" comme fonction, tu peux toujours partir, toi, de la forme factorisée des polynômes en t'arrangeant pour ne par en prendre des trop compliquées (pour la factorisation justement).
par exemple :
Tu peux en étudier les variations, les limites,... (tableau de variation... classique, en somme).
Si le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur, tu peux faire chercher les asymptotes obliques.
Tu peux même en faire avec un paramètre m...
Duke.
Une famille de fonctions ?Tu peux même en faire avec un paramètre m...
Et on dirait qu'il y a autant de variations que le degré du polynome... c'est ça ?
Par exemple, polynôme de degré un, il est soit décroissant soit croissant. Polynôme de degré 2, croissant/décroissant ou décroissant/croissant, ...
Re-Oui
Je ne suis pas bien sûr de comprendre là...Et on dirait qu'il y a autant de variations que le degré du polynome... c'est ça ?
Par exemple, polynôme de degré un, il est soit décroissant soit croissant. Polynôme de degré 2, croissant/décroissant ou décroissant/croissant, ...
Un polynôme de degré 3 peut très bien n'être que strictement croissante (donc "une seule variation") par exemple f(x) = x3+2x+1.
Je pensais à pour quelle(s) valeur(s) de m l'équation f(x)=k (k=0 ou k=1 si tu tiens à faire ton méchant) n'admet qu'une solution ? deux solutions ? ou pas de solution ?...
ou plus costaud, pour quelle(s) valeur(s) de m, la courbe admet-elle une asymptote oblique d'équation y=... ou une tangente d'équation ... en un point d'abscisse x0.
Des trucs tordus quoi
Duke.
Vous vouliez écrire fm(x)=k non ? Parce que sinon votre équation ne dépend pas de m ce qui rend la résolution en fonction de m plutôt unilatérale ^^.Je pensais à pour quelle(s) valeur(s) de m l'équation f(x)=k (k=0 ou k=1 si tu tiens à faire ton méchant
ou plus costaud, pour quelle(s) valeur(s) de m, la courbe admet-elle une asymptote oblique d'équation y=... ou une tangente d'équation ... en un point d'abscisse x0.
Des trucs tordus quoi
Duke.
Bonjour,
comme la famille de fonction fn(x) = xne-x, tombée cette année au bac ?
Bonjour.Oui... en effet.
Par exemple.
Mais je pensais davantage à une fonction du genre
Duke.
Oh oui, elles ont l'air mignonnes, et les dérivées assez faciles à faire !
Merci !
Dites moi, j'aurais une autre question... mais c'est plus au niveau du sup : ça veut dire que "linéariser" une fonction, comme par exemple sin(2x) ?
Merci d'avance encore
Bonjour.De rien
On exprime une puissance d'une expression trigo sous une forme simple (souvent somme) de fonctions trigonométriques sans puissance.Dites moi, j'aurais une autre question... mais c'est plus au niveau du sup : ça veut dire que "linéariser" une fonction, comme par exemple sin(2x) ?
ex simples :
Regarde là paragraphe "linéarisation".
C'est là où on voit bien l'intérêt de la formule de Moivre et des formes exponentielles de sin et cos.
Duke.
Salut,
et merci encore pour ta réponse !
Je comprends le premier exemple, mais pas celui de cos3(x), même avec la formule de Moivre.
Bonjour,
vous commencez simplement par écrire la formule de Moivre :
(cos(x)+isin(x))3=cos(3x)+isin(3x)
Ensuite vous developpez le membre de gauche, vous égalisez les parties réelles et vous avez une équation en cos3(x). Pensez aussi à virer les sin² par des 1-cos²
Personnellement je préfère utiliser la formule d'Euler :
On développe pour obtenir une expression linéaire en fonction d'exponentielles
En réarrangeant on a le résultat assez immédiatement. Je vous laisse y réfléchir un peu. indice, on réutilise la formule d'Euler dans l'autre sens.
