Suite

[invite489d2c5c]

Bonjour
Un sociologue étudie l'évolution de la population d'un pays du Sud-Est asiatique. Depuis 1969 (cette année là le pays comptait 44 500 000 habitants), il constate qu'en moyenne la population a un taux de natalité de 35 pour mille et un taux de mortalité de 17 pour mille. A ces variations, il faut ajouter 25 000 nouveaux arrivants dans ce pays et retirer 9 000 citoyens qui partent définitivement. On note Pn la population de l'année 1969+n exprimée en milliers d'habitants.
1- Déterminer Po.
2- Demontrer que pour tout enrier naturel n, Pn+1 =1.018Pn+16
3- Déterminer l'expression de Pn en fonction de n.
4- Combien d'habitants peut-on prévoir en 2010?
5- Au bout de combien d'années la population aura-t-elle triplée par rapport a 1969?"

J'ai tous réussi sauf la 5 et 6 , pouvez vous m'aidez ?
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[phys4]

Bonjour
Un sociologue étudie l'évolution de la population d'un pays du Sud-Est asiatique. Depuis 1969 (cette année là le pays comptait 44 500 000 habitants), il constate qu'en moyenne la population a un taux de natalité de 35 pour mille et un taux de mortalité de 17 pour mille. A ces variations, il faut ajouter 25 000 nouveaux arrivants dans ce pays et retirer 9 000 citoyens qui partent définitivement. On note Pn la population de l'année 1969+n exprimée en milliers d'habitants.
1- Déterminer Po.
2- Demontrer que pour tout enrier naturel n, Pn+1 =1.018Pn+16
3- Déterminer l'expression de Pn en fonction de n.
4- Combien d'habitants peut-on prévoir en 2010?
5- Au bout de combien d'années la population aura-t-elle triplée par rapport a 1969?"

J'ai tous réussi sauf la 5 et 6 , pouvez vous m'aidez ?

Bonsoir,
A priori, il y a deux erreurs quelque part
1- en 2, la formule doit être Pn+1 = 1.018 Pn + 16000 et non pas 16

2- IL y a 5 questions et non pas 6.

Si vous avez construit la formule P(n), il est facile de trouver le triplement en posant P(n) = 3*44 500 000

Bonne chance.

[invite489d2c5c]

Effectivement, j'ai oublié une question qui étais déterminer le réel k tel que la suite (Un) définir par Un=Pn+k soit une suite géométrique .

Pour Pn+1=1.018Pn+16, c'est l'énoncé,
mais la formule étant éxprimée en milliers 16000 = 16 milliers ? non ?

Pour Un en fonction de n j'ai 44500X1.018^n et Pn= 44500X1.018^n - (8000/9)

j'avais effectivement fais 3X44500 = 133500000 mais aprés je ne sais comment faire ..

[phys4]

Effectivement, j'ai oublié une question qui étais déterminer le réel k tel que la suite (Un) définir par Un=Pn+k soit une suite géométrique .

mais la formule étant éxprimée en milliers 16000 = 16 milliers ? non ?

Pour Un en fonction de n j'ai 44500X1.018^n et Pn= 44500X1.018^n - (8000/9)

j'avais effectivement fais 3X44500 = 133500000 mais après je ne sais comment faire ..

J'avais oublié les milliers, milles excuses, je résous plus vite que je lis.
La solution p(n) est fausse, il faut tenir de l'addition de 16 milliers chaque année qui sont aussi multipliés par 1.018 chaque année suivante d'après la formule de récurrence. Après vous pourrez facilement résoudre la dernière question. Pour trouver n, inconnue en exposant, il faudrait passer en log ( connaissez vous?)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite489d2c5c]

Je n'ai pas compris pour le P(n) ..

[invite489d2c5c]

Et je n'ai pas encore etudié les log

[phys4]

Il faut tenir compte du fait que U₀ = P₀ + k

donc P(n) = (44 500 + k)*1.108ⁿ - k

A part cela la valeur de k est correcte. C'était nécessaire pour P(0) = P₀

[invite489d2c5c]

Bah justement P0= U0-k, c'est pour cela que dans P(n) j'ai le -k a la fin, pourquoi doit on alors rajouter k au début ?

[phys4]

Alors il faudra calculer combien doit faire 1.018^n puis rechercher n par approximations successives, jusqu'à encadrer la valeur demandée entre deux valeurs entières de n.

[invite489d2c5c]

Alors il faudra calculer combien doit faire 1.018^n puis rechercher n par approximations successives, jusqu'à encadrer la valeur demandée entre deux valeurs entières de n.


Désolée , je n'ai pas compris ..

[phys4]

Bah justement P0= U0-k, c'est pour cela que dans P(n) j'ai le -k a la fin, pourquoi doit on alors rajouter k au début ?

Dans la formule demandée c'est U₀ qui doit être multiplié 1.018^n et non P₀
Tu pourras constater que c'est ainsi que l'on obtient les valeurs correctes pour P₀ , P₁ ...

[invite489d2c5c]

Je suis perdue avec la suite (Un) et la suite (Pn) je ne comprends plus .

[phys4]

Je pense que la formule à résoudre contient le terme 1.018^n, et il faut trouver n.
Tu peux donc calculer ce que doit faire 1.018^n, puis essayer des puissances de 1.018,
l'on encadre la valeur cherchée entre n = 60 et n = 61

[invite489d2c5c]

donc P(n) = (44 500 + k)*1.108n - k

[invite489d2c5c]

donc P(n) = (44 500 + k)*1.108n - k

Etes vous sûr ?

[phys4]

Etes vous sûr ?

Moi je suis sur, mais c'est à vous d'être sur, avez vous essayé avec n = 0 et n = 1 ?

Au fait, je suppose que vous n'avez pas de problème avec 1.018^0 = 1 et 1.018^1 = 1.018
Pour trouver n , il serait bien d'avoir une calculatrice qui donne x^y ?

[invite489d2c5c]

Je ne vois pas comment montrer que P(n) = (44 500+k)^1.018 -k Le mois +k je le sort de où, je sais pas comment faire la rédaction, plus sa le probléme ..

Pas de probléme avec les puissance 0,

Ma calculatrice doit surement le faire, voir comment le faire maintenant ^^

[phys4]

L'intérêt de poser Un = Pn + k vient du fait que Pn n'est pas une suite géométrique, alors qu'avec le décalage k, Un peut l'être.

Nous aurons alors une formule très simple U_n = U₀ * 1.018ⁿ

Tu remplaces U₀ et U_n par les valeurs P₀ + k et P_n + k et tu obtiens la bonne formule.

[invite489d2c5c]

Pourquoi je remplace U0 et Un par les valeurs P0 + k et Pn + k .
Les suite Un et Pn sont identiques alors ?

[phys4]

Il a posé par définition de Un que Un = Pn + k, les suites différent donc d'une constante fixe k que tu as réussi à calculer !!!!

[invite489d2c5c]

D'accord ! Merci pour calculer pour l'année 2010 je calcule P(41) alors ?

[phys4]

Je suis d'accord, à propos, je trouve que le triplement correspond à l'année 2030.

[invite489d2c5c]

Comment avez vous fait ? J'ai vu avec ma prof a propo du +k, elle me dis qu'il n'y a pas de +k, je vais vous publier les réponses que j'ai sur l'ensemble de l'exercice , voir si cela convient :


P0=44500
____

Pn=P(n-1)-0.017P(n-1)+0.035P(n-1)+16
= 1.018 P(n-1)+16

Ainsi P(n+1)= 1.018Pn +16
_____

P(n+1)=1.018Pn+16
Un=Pn+k
Donc U(n+1)=P(n+1)+k
=1.018Pn+16+k
Or Pn =Un - k
Ainsi U(n+1)= 1.018(Un-k) +16+k
= 1.018Un - 1.018k+16+k

Pour que (Un) soit une suite géométrique, (-1.018k+16+k) doit etre égal a 0.

On obtient donc k= 16/0.018 = 8000/9

On montre que c'est une suite géométrique = P(n+1)/P(n) = (1.018Pn+16) / (Un - (8000/9))
=1.018Un-(8000/9) / Un -(8000/9)
La je ne sais pas comment dire que donc q=1.018

_____

Un= U0*q^n
= 44500*(1.018)^n
Pn=Un-k
= 44500 * (8000/9)^n - (8000/9)

______

2010-1969=41
Donc P(41)= 44500*1.018^41-(8000/9)

Ok ?

Et la derniére question je ne sais pas :/
On m'a dis d'utiliser un tableur comment ?

[phys4]

Comment avez vous fait ? J'ai vu avec ma prof a propo du +k, elle me dis qu'il n'y a pas de +k, je vais vous publier les réponses que j'ai sur l'ensemble de l'exercice , voir si cela convient :

P(n+1)=1.018Pn+16
Un=Pn+k
Donc U(n+1)=P(n+1)+k
=1.018Pn+16+k
Or Pn =Un - k
Ainsi U(n+1)= 1.018(Un-k) +16+k
= 1.018Un - 1.018k+16+k
_____

Un= U0*q^n
= 44500*(1.018)^n
Pn=Un-k
= 44500 * (8000/9)^n - (8000/9)

______


Et la derniére question je ne sais pas :/
On m'a dis d'utiliser un tableur comment ?

Bonsoir,
Vous avez vu dans les dernières lignes que j'ai laissé vous avez
Un= U0*q^n
= 44500*(1.018)^n

Première équation OK, mais seconde vous remplacez U0 par 44500 alors que vous avez posé,
Un=Pn+k
Ce n'est pas très logique, vous devriez montré cela à votre prof.

L'idée du tableur est bonne si vous avez vous en servir. Il faut créer une colonne n, puis une colonne U et enfin une colonne P, la colonne n peut compléter par une colonne donnant directement l'année.