triangle equilateral et probabilité

[invite90e9dcb4]

Soit un triangle equilateral de coté 1.
Placer un point de façon aléatoire sur un des cotés, et une autre point sur un autre coté.
Tracer un segment entre les points. Quel est la probabilité que la longueur de ce segment soit moins que ?
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[Médiat]

Bonjour,


1) La courtoisie n'est pas optionnelle sur ce site (Bonjour, merci...).


2) FSG n'est pas un site pour résoudre vos exercices, vous pourriez au moins nous montrer ce que vous avez fait au lieu de nous enjoindre de vous répondre.


En appliquant ces règles, vous aurez sans doute plus de réponses, sinon essayez la magie.

Médiat, pour la modération

[invite90e9dcb4]

Je reprends.

Bonjour à tous !

J'ai le problème suivant que je n'arrive pas à résoudre :

Soit un triangle equilateral de coté 1.
Placer un point de façon aléatoire sur un des cotés, et une autre point sur un autre coté.
Tracer un segment entre les points. Quel est la probabilité que la longueur de ce segment soit moins que ?

J'ai essayé tout ce que je connais. Ma première idée était que les deux points doivent se trouver à d'un sommet. La probabilité que les deux points soient en bonne position est donc . Mais c'est faux. Je peux trouver des contre-exemples avec un point au dela de et le segment moins de .

Si quelqu'un a une idée, moins je sèche.

Merci,

Sirius.

[danyvio]

Peut-être en calculant la surface couverte par un segment de dont les extrémités glisseraient sur deux côtés du triangle. Un dessin (mais j'ai la flemme) serait mieux pour exprimer ma pensée. Ensuite on divise cette surface par la surface totale du triangle pour calculer la proba.
Il y a peut- être une solution puremant arithmétique, mais je ne la vois pas de manière évidente.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Ce problème est loin d'être simple, sij'étais vous je commencerais par regarder aux points se situant à d'un sommet.

[invitea3eb043e]

Disons que le segment s'appelle MN et que AM=x et AN=y
x et y sont des variables indépendantes équiprobables comprises entre 0 et 1.
Facile de voir que la longueur MN est L et que L² = x² + y² - xy (théorème du cosinus)
On prend alors le système d'axes x,y et on dit que tous les points possibles sont dans un carré de côté 1. On cherche alors la courbe telle que x² + y² - xy = L²
Comme cette courbe est symétrique en x et y, il est logique de prendre des axes tournés de 45° et de poser x = (X+Y)/racine(2) et y = (X-Y)/racine(2)
On voit que la courbe est une ellipse centrée en O et que la zone intéressante est un morceau de cette ellipse dans le carré de côté 1.
La proba recherchée est l'aire de ce morceau d'ellipse. Pas trop dur ensuite, l'aire d'une ellipse se déduisant aisément de celle du cercle dont elle est l'affinité.

[Médiat]

J'attire aussi votre attention sur certaines difficultés qui apparaissent lors de calculs sur des ensembles infinis (surtout non dénombrables), voir par exemple le paradoxe de Bertrand.

[invite90e9dcb4]

Pas trop dur ensuite, l'aire d'une ellipse se déduisant aisément de celle du cercle dont elle est l'affinité.

Merci !

Je n'ai pas encore fait le calcul mais il me semble clair que ce n'est pas quelque chose de simple (genre 1/3 ou 1/2). Je pense que la personne qui a inventé le problème n'a pas réalisé la difficulté.

Encore merci.

[invitea3eb043e]

Pas si atroce que ça, si on évite le cas où la longueur L est assez grande pour que x>1 ou y>1 soient solutions.
L'équation de l'ellipse évoquée sera : X²/2 + 3Y²/2 = L², elle est inclinée de 45° , son grand axe est L racine(2) et son petit axe L racine(2/3). Elle résulte donc d'un cercle de rayon L racine(2) écrasé d'un facteur racine(3). De ce cercle, on prend une part de tarte limitée à X=L/racine(2) (faire un dessin), ce qui correspond à 2/3 de la tarte. L'aire de la part de tarte sera donc pi * (L racine(2))² * 2/3 qu'on divise encore par le rapport d'écrasement racine(3).
La probabilité sera alors l'aire de cette part de tarte écrasée, soit 4 pi*L²/(3 racine(3))

[Médiat]

Bonjour,

Comment vous assurez-vous que vous ne tombez pas dans un cas similaire au paradoxe de Bertrand ?

Un calcul direct ne me paraît pas faire intervenir .

[Amanuensis]

Je ne trouve pas 2/3 de la tarte, mais seulement 1/3. Cela ne peut de toutes manières pas être plus que la moitié de la tarte, par symétrie par rapport à 0. Mais je n'ai peut-être pas compris de quelle tarte il s'agit.

En coordonnées non inclinées, l'ellipse a pour équation x²+y²-xy=L². Elle coupe les axes en (L, 0) et (0, L), soit une corde de sqrt(2)L. Elle coupe l'axe x=y en (L,L), son centre est (0,0) par symétrie. Le demi grand axe vaut L. Elle coupe x=-y en (L/sqrt(3), -L/sqrt(3) , le demi petit axe est L.sqrt(2/3).

La dilatation par sqrt(3/2 )donne un cercle de rayon L, la corde devient sqrt(3)L, soit un demi-angle au centre de arcsin(sqrt(3)/2), 60°, une part de 1/3 de tarte.

[Amanuensis]

Bonjour,

Comment vous assurez-vous que vous ne tombez pas dans un cas similaire au paradoxe de Bertrand ?

Un calcul direct ne me paraît pas faire intervenir .

Je ne comprends la problématique que vous soulevez.

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Le problème posé se traite en deux étapes. La première est l'identification des variables aléatoires. On obtient par traduction de l'énoncé X et Y deux variables indépendantes chacune de distribution uniforme sur [0,1], soit , par exemple. On peut éventuellement discuter cette interprétation de l'énoncé, mais elle me semble correcte (j'avais fait la même avant les messages de Jean-Paul).

La proba demandée correspond à a mesure de l'ensemble X²+Y²-XY < 1/3, par géométrie.

Il faut donc calculer la probabilité

p(X²+Y²-XY < 1/3 | données), ce qui vaut

La deuxième étape est juste le calcul de cette intégrale.

[Médiat]

Je ne comprends la problématique que vous soulevez.

Mais si vous la comprenez, puisque vous écrivez :

On peut éventuellement discuter cette interprétation de l'énoncé

Et que je ne doute pas que vous connaissez le paradoxe de Bertrand, qui porte justement sur la traduction de l'énoncé en termes mathématiques (son interprétation).

[Amanuensis]

Mais si vous la comprenez, puisque vous écrivez :

Disons que je vois une interprétation très dominante parmi toutes celles que je peux imaginer. (Et que Jean-Paul ai pris la même me conforte dans cette opinion.)

Quelle autre interprétation pourrait l'approcher en vraisemblance à la lecture de l'énoncé ? C'est cela que je ne vois pas, et qui a motivé la question que je vous ai adressée. Que je n'en vois pas est peut-être le résultat de mon imagination limitée, ce que je cherche à vérifier.

(L'énoncé est suffisamment différent du cas du "paradoxe" de Bertrand pour que cela amène une forte différence de vraisemblance entre interprétations, contrairement à l'énoncé "corde au hasard", selon mon analyse.)

[Médiat]

C'est cela que je ne vois pas

J'espère que vous admettrez avec moi que ce "je ne vois pas" ne permet pas de répondre à la question (ce qui la justifie) :

Comment vous assurez-vous que vous ne tombez pas dans un cas similaire au paradoxe de Bertrand ?

Ce point devrait suffire, car le fond de ma question est bien là.

Néanmoins, on pourrait très bien envisager le problème en divisant les différentes possibilités, par exemple :
(N sur AB et AN <= 1/3) et [(M sur AC et AM <= 2/3) ou (M sur AB et NM <= racine(3)/3)]
(N sur AB et 1/3 < AN <= racine(3)/3) et [...]
(N sur AB et racine(3)/3 < AN <= 1/2) et [...]


Il n'est pas impossible que pi intervienne, mais je n'ai pas le temps de faire tous les calculs.

[Amanuensis]

J'espère que vous admettrez avec moi que ce "je ne vois pas" ne permet pas de répondre à la question

J'ai déjà indiqué que ma question est relative à mon manque d'imagination. Comment voulez-vous que je m'abaisse plus ?

Néanmoins, on pourrait très bien envisager le problème en divisant les différentes possibilités, par exemple :
(N sur AB et AN <= 1/3) et [(M sur AC et AM <= 2/3) ou (M sur AB et NM <= racine(3)/3)]
(N sur AB et 1/3 < AN <= racine(3)/3) et [...]
(N sur AB et racine(3)/3 < AN <= 1/2) et [...]

J'ai du mal à comparer positivement cela avec l'interprétation "hypothèse 0" de l'énoncé, mais cela n'est certainement qu'une preuve de mes limitations comparées à celles que vous avez peut-être. Si cela se trouve, c'est la même, les hypothèses sur les probabilités n'étant pas très claires pour moi dans cette description.

Je me permet d'expliquer comment j'arrive aux hypothèses que j'ai prises concernant les probabilités "données" par l'énoncé. Cela peut être utile pour d'autres lecteurs.

Pour moi un énoncé comme "Placer un point de façon aléatoire sur un des cotés" ne veut littéralement rien dire sur la distribution. Il s'agit d'une difficulté malheureusement plus qu'usuelle dans ces exercices prétendument de probabilité alors que ce sont au fond que de l'application des méthodes de dénombrement ou de la théorie de la mesure.

Il faut donc "traduire" l'intention de l'auteur de l'énoncé, et pour cela par expérience (induction sur les analyses passées d'énoncé d'exercices en "probabilités") l'hypothèse 0 est d'équivaloir "aléatoire" à "équiréparti et indépendant de tout autre chose" (prior typique en cas de manque d'information). Ici je ne vois pas d'ambiguïté sur ce qui peut être uniforme : cela paraît être d'une part l'équiprobabilité des côtés et d'autre part la position sur le côté selon la mesure de Lebesgue portant sur la métrique euclidienne. La seule indépendance pertinente est celle avec l'autre "placement aléatoire".

Cette hypothèse 0 me paraît, par expérience, bien plus vraisemblable qu'une quelconque autre hypothèse.

Comme il est impossible de faire un prior solide examinant toutes les possibilités d'interprétation, le meilleur pari me semble, sur la base de mes connaissances, de loin, prendre l'hypothèse 0 à 100%.

Si vous penchez vers une autre hypothèse, c'est parce que vous avez des informations supplémentaires à celles que j'ai prises en compte. Cela ne me pose pas de problème, j'étais juste curieux quand à savoir quelles elles sont, et aussi intéressé à diminuer ainsi mes méconnaissances.

Je n'ai pas eu la réponse, tant pis pour moi, mais cela n'a pas une si grande importance que cela vaille continuer ces échanges mal engagés,

xxxxxxxxx La critique de la modération doit se faire en privé : cf. La charte xxxxxxxxxxxx

Fin de l'incident, de mon point de vue.

[Amanuensis]

@jeanpaul

Je reste intéressé par la petite divergence entre nos résultats.

Ceci dit il y (au moins) une faute dans mon calcul :

En coordonnées non inclinées, l'ellipse a pour équation x²+y²-xy=L². Elle coupe les axes en (L, 0) et (0, L), soit une corde de sqrt(2)L. Elle coupe l'axe x=y en (L,L), son centre est (0,0) par symétrie. Le demi grand axe vaut L. (...)[/QUOTE]

Non, le demi-grand axe vaut sqrt(2)L et non pas L.

D'où

En coordonnées non inclinées, l'ellipse a pour équation x²+y²-xy=L². Elle coupe les axes en (L, 0) et (0, L), soit une corde de sqrt(2)L. Elle coupe l'axe x=y en (L,L), son centre est (0,0) par symétrie. Le demi grand axe vaut sqrt(2).L. Elle coupe x=-y en (L/sqrt(3), -L/sqrt(3) , le demi petit axe est L.sqrt(2/3).

La dilatation par sqrt(3) donne un cercle de rayon sqrt(2).L, la corde devient sqrt(6)L, soit un demi-angle au centre de arcsin(sqrt(3)/2), 60°, une part de 1/3 de tarte.

L'aire de la part est alors un tiers de pi.(2L²) divisé par sqrt(3). Soit 1.21 fois L², ce qui paraît compatible avec l'impression visuelle de la figure (la part contient un carré LxL, et est un peu plus grande). Pour L²=1/3, cela donne une proba de l'ordre de 0.4, là encore compatibles avec l'impression visuelle.

[invitea3eb043e]

C'est bien 1/3 de tarte, je suis désolé, un morceau sous-tendu par pi/3 de chaque côté. Aussi, L racine(2), c'est le demi-grand axe. Si on discutait de vive voix sur un dessin, ce serait évidemment plus facile.
La notion de probabilité, je la vois intuitive, il faudrait dire comment on prend les points au hasard.

[invite90e9dcb4]

Je confirme que aléatoire ici veut dire équiparti et independant.

Autre question, sûrement tres naïve : ne faut-il pas prendre en compte le fait que le deuxième point peut se situer sur deux segments ? Si M est sur AB, N peut se trouver sur AC ou sur BC. De plus, il y a recouvrement des cas (pour certains M, il y a des points sur BC et sur AB qui satisfassent la condition de longueur).

Désolé si ce point (!) est evident pour vous, il ne l'est pas pour moi.

Merci.

[invite90e9dcb4]

Au passage, je confirme aussi que le résultat d'un calcul par programme donne 0.403..., c'est-à-dire le résultat trouvé par Amanuensis.

Re-merci.

[Amanuensis]

Autre question, sûrement tres naïve : ne faut-il pas prendre en compte le fait que le deuxième point peut se situer sur deux segments ? Si M est sur AB, N peut se trouver sur AC ou sur BC. De plus, il y a recouvrement des cas (pour certains M, il y a des points sur BC et sur AB qui satisfassent la condition de longueur).

Désolé si ce point (!) est evident pour vous, il ne l'est pas pour moi.

La question n'est pas naïve.

L'énoncé est symétrique par permutation des sommets, puisque le triangle est équilatéral. On pourrait distinguer les 6 cas de choix des deux côtés (il y en a 6 si on prend en compte la notion de "premier" côté), qui correspondent aux 6 permutations possibles des sommets. Ils sont (par interprétation de l'énoncé) équiprobables, chacun 1/6. On pourrait trouver la proba dans chaque cas et pondérer par 1/6, mais comme par symétrie ce sera la même proba dans chacun des 6 cas, la moyenne pondérée donnera comme valeur celle calculée pour un cas (on va faire 0.4 /6 + 0.4/6 + ...).

Pour une réponse rigoureuse, faudrait expliquer cela

Si le triangle n'était pas équilatéral, il aurait fallu distinguer et calculer indépendamment les 6 cas (3 calculs en fait, puisque permuter les deux côtés "tirés" laisse le calcul invariant, par symétrie de la notion de distance).

Les raisonnements par symétrie sont très utiles dans ce genre de sujet, il est vrai qu'avec l'habitude on les applique directement, sans détailler !

[invite90e9dcb4]

Bonjour-

Merci encore pour toutes les réponses. Il doit y avoir une solution plus "géométrique" pour ce problème. A l'origine, il s'agit d'un problème proposeé à des élèves de lycée qui ne vont pas calculer des intégrales sous des ellipses.

Le resultat final semble etre 2/9.pi.L
2.pi.L est le perimetre du cercle circonscrit. Mais comment cela intervient-il dans la réponse ? Quelqu'un a des idées ??

[Amanuensis]

A l'origine, il s'agit d'un problème proposeé à des élèves de lycée

Faut demander la solution au professeur de lycée qui a posé ce problème à ses élèves...

[invitef17c7c8d]

Il me semble que dans la formule de JeanPaul il y a une petite erreur.
N'est ce pas plutôt

Effectivement, il est possible de déterminer le rayon du cercle par la relation
.


En remplaçant dans cette relation L par sa valeur maximale, on obtient un rayon maximal de

Ce résultat est assez extraordinaire, car il montre que le rayon ne dépend ni de x ni de y.

Par conséquent il existe tout un tas de cercles circonscrits dont le rayon est 1/3.
La probabilité peut donc s'exprimer non plus en fonction de x et y, mais en fonction d'une propriété de conservation géométrique: celle du périmètre du cercle.

[Amanuensis]

N'est ce pas plutôt

C'est bien ça la formule

dans la formule de JeanPaul il y a une petite erreur.

mais non il n'y a pas d'erreur à dire que c'est x²+y²-xy=L²

[invitef17c7c8d]

Mille excuses JeanPaul, effectivement cos(60)=1/2...

[invitef17c7c8d]

Mais sinon la longueur du côté L peut varier de 0( lorsque x=y=0) à 1 (c'est alors le troisième côté du triangle).

Donc la probabilité est proportionnelle à la longueur L.

Par conséquent la réponse doit être

[invitef17c7c8d]

Mille pardons, nouvelle erreur de ma part.
La valeur maximale de L n'est pas 1 mais

Par conséquent la solution doit être

1 chance sur 2 quoi

[Amanuensis]

La longueur maximale est 1.

Sans préjudice sur le reste du "raisonnement".

[invitea3eb043e]

Merci Amanuensis mais la remarque montre que la question ne serait pas beaucoup plus compliquée si le triangle n'était pas équlatéral.