DM de maths

[invite58de3235]

Bonjour à tous,
Quelqu'un pourrait-il m'aider pour ce dm :

Exercice :

Soit P un trinôme : p(x)=ax²+bx+c avec a différent de 0, b et c sont trois nombres réels tel que :

P(x+1)-p(x)=x et p(1)=0, pour tout nombre réels x

1) Determiner les nombres a b et c (égalités de 2 polynomes )

2) Calculer alors Sn en fonction de n avec Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n = Tout les nombres compris entre 1 et n

3) Application : calculer S1000 = 1 + 2 + 3 + ... + 1000

Bon j'ai trouvé quelque trucs, mais rien de bien convainquant.
Un peu d'aide SVP
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[Tryss]

Pour la 1), comment traduirai tu en équation le fait que p(x+1)-p(x) = x ?

Pour la 2), comment tu peux réécrire Sn en utilisant le fait que k = p(k+1)-p(k)? Remarques tu une (grosse) simplification ?

Pour la 3), il suffit d'appliquer les résultats de la question 1) et 2)

[invite58de3235]

Ce qu'on a trouvé sur l'exo c'est :
P(1) = 0 alors P (1) = a * 1² + b * 1 + c = 0
Donc P (1) = a + b + c = 0

Ensuite P( x + 1 ) - p(x) = x
Donc P ( 1 + 1 ) - P(1) =1
ALors P(2) = 1
Ensuite P (2 ) = A * 2² + b * 2 + c = 4a + 2b + c

Donc On reprends tout

P (x + 1 ) - p(x) = p( ax² + bx +c + 4a + 2b +c) - p (a + b + c)
Donc = p ( ax² + bx + 4a + 2b + 2c ) - p (a + b + c)
Si x=1 alors = p(a + b + 4a + 2b + 2c ) - p (a + b + c)
= p ( 5a + 3b + 2c) - p (a + b + c)
On mets le reste donc = p ( 5a + 3b + 2c) - p (a + b + c) = 1
Et après O.o comment trouver a, b et c?

[Tryss]

Hum, tu étais parti sur une bonne idée, mais tu t'es arrêté en cours de route.

Tu as calculé que P(1) = 0, ça te donne une première équation a+b+c=0
Ensuite tu as calculé P(2) = 1, ça te donne une deuxième équation 4a+2b+c=1

Il te manque une troisième équation pour résoudre le système. Calcule donc P(3) comme tu l'a fait pour P(1) et P(2), ça te donnera une troisième équation.


Tu peux aussi le faire directement, en écrivant que :
P(x+1)-P(x) = a(x+1)² + b(x+1) + c - ax² - bx - c

Tu développe le polynôme, tu regroupes les termes, et tu identifie terme à terme avec le polynôme x (puisque P(x+1)-P(x) = x )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite58de3235]

P(x+1)-P(x) = a(x+1)² + b(x+1) + c - ax² - bx - c

Alors = ax² + a + bx² + b + c - ax² - bx - c = a + b

Non?

[Tryss]

Refais plus soigneusement tes calculs, il ne peux pas apparaitre le coefficient b devant un x², et (x+1)² n'est pas égal à x²+1.

[invite58de3235]

Là, je suis perdue...

[Tryss]

Tu as :



Donc

Tu as alors :


Pour trouver la valeur de c, calcule P(1) avec les valeurs que tu va trouver de a et b.

[invite58de3235]

Donc a = 1/2 et b = - 1/2 Donc c = 0 c'est ca?

[Tryss]

C'est exact, ainsi on peut réécrire :

[invite58de3235]

merci beaucoup ! Apparemment ce n'est pas du programme de Première S ! C'est peut être pour ça que je ne comprenais pas!
En tout cas, un grand mercii Tryss