fonction

[topcase]

Bonsoir à tous

Pourriez vous m'aider à faire cet exo s'il vous plait:

On définit la fonction h par h(x)= x3^x
1) Donner l'ensemble D_h de la fonction
2)Etudier les variations de h
3) Déterminer les limites sur -00 et +00

Mes réponses

1) Dh= R car nous avons un produit de fonction défini sur R

2) h est de la forme u.v sa dérivée s'obtient en faisant h'(x)= u'v+v'u
avec:
u= x u'= 1
v=3^x v'=3^x

h'(x)= 3^x+(3^x.x)
j'obtiens ce tableau:

x -00 0 +00
3^x - +
3^x.x - +
h'(x) + +


3) limites sure +00
x=+00
3^x=+00
lim h(x)=+00
x-->+00

limites en -00
x=-00
3^x=-00
h(x)=+00
x-->-00
-----

[ansset]

"v=3^x v'=3^x"

pas du tout.
par contre 3=e^ln(3)
donc 3^x=?
d'ou la dérivée.

[topcase]

"v=3^x v'=3^x"

pas du tout.
par contre 3=e^ln(3)
donc 3^x=?
d'ou la dérivée.

3^x= 3e^3x mais je ne suis pas sure de comprendre

[ansset]

non pas exactement
tu peux ecrire 3=e(ln(3)) d'accord ?
donc 3^x=(e(ln(3))^x soit e(x*ln(3))
la dérivée vaut donc ln(3)e(ln(3)*x)
ou pour revenir à 3
ln(3)*3^x

ps, justement à un moment la dérivée de ta fonction globale s'annulle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[topcase]

Donc ma dérivée est
h'(x)= 3^x + (ln3.3^3)x ?

[ansset]

non,
ta dévivée vaut
(1+x*ln(3))3^x
refais bien ton calcul

[topcase]

non,
ta dévivée vaut
(1+x*ln(3))3^x
refais bien ton calcul

Donc j'obtiens ce tableau:
x -00 0 +00
3^x - +
1+xln(3) - +
h'(x) + +
h croissante sur Df donr R\0

[ansset]

je ne comprend pas ton tableau, désolé.
la dérivée s'annule en x=-1/ln(3) ( ce qui ne l'empêche pas à priori de rester croissante )
tout comme x^3 pr exemple.

[topcase]

h est toujours croissante en fait

[ansset]

non, revois bien la dérivée !

[ansset]

allez, un coup de main complet ! ( suis de très bonne disposittion ce soir !! )
la dérivée s'annule bien en xo=-1/ln(3)
on vois aussi qu'elle est négative avant et positive après.
on a aussi f(0)=0
et f(xo)=-1/e*ln(3)
j'utilise souvent un truc pratique à savoir a^x = e(x*ln(a)).
reste les limites
en +oo c'est évident , c'est +00

en -oo c'est plus subtil
f(x)=x*3^x= x*e(x*ln(3))
forme indéterminée car x -> -oo
et e(x*ln(3)) ->0
on es devant un "0 * -oo " indeterminé.
or, tj se souvenir quen cas d'indeterminaton les exponentielles gagnent tj face à des polynomes donc
la limite est 0 en -oo

je ne sais pas pourquoi je te donne toute l'explication, ce n'est ni dans mes habitudes, ni dans l'esprit du forum.
j'espère surtout que tu comprenne plutôt de satisfaire de la solution.
car si tu retiens bien l'enchainement, ça pourra te servir souvent.