exercice suite et convergence

[invite8e72cae1]

Soit (un) la suite définie par pour tout n appartenant à N* , un = ln1/1² + ln2/ 2² + ln3/3² + .... + ln n / n²

1) étudier les variations de la fonction f sur [1,+infini[ lorsque f(x) = Racine(x) - ln(x)
2) en déduire que pour tout k appartenant à N* (ln k)/ k² < ou egal à 1/(k x Racine(k))
3) Justifier que pour tout k appartenant à N* 1/(2k x Racine(k)) < ou egal à 1/ (Racine (k-1)) - 1/(Racine(k))
4) déduire de ce qui précède que pour tout n appartenant à N* , un < ou égal à 2 - 2/(Racine(n))
La suite (un) est elle convergente? ( on ne demande pas de calculer la limite eventuelle)

1) f'(x) = 1/(2V(x)) - 1/x
f'(x) = (x-4) / ( 2x x V(x) + 4x)
en simplifiant par le conjugé
donc je trouve que f(x) decroissante sur [1,4] puis croissante sur [4,+infini]

Mais je suis bloqué à la question 2 car je ne vois pas le rapport entre la 1 et la 2 , ainsi que la 2 et l'énoncé.
merci de votre aide
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[zyket]

Bonjour, bonjour,

(attention on est sensible à la politesse sur ce forum)

as-tu dresser le tableau de variation de f ? C'est en fin de compte ce qu'on te demande dans la question 1. Tu es sur la bonne voie : ta dérivée est correcte.
Peux-tu nous dire si la fonction f admet un extremum sur son ensemble de définition ?

[invite8e72cae1]

Bonsoir ok désolé pour la politesse et merci de ta réponse !
J'ai mis que f(1) = 1 , f(4) = V(4) - ln(4)
Pour calculer la limite r en + infini , j'ai utiliser mon cour qui me dit que (ln n)^b = o (n^a) , donc que ln(x) est négligeable devant x^(1/2) avec V(x) = x^(1/2)
ainsi lim f(x) lorsque x tend vers + l'infini = infini ( désolé pour la notation);
je pense que dans ma deuxieme question il faudrait utiliser cela aussi .
merci de m'aider

[ansset]

je prend un court instant la suite de zyket. parti un court instant.
tu as montré que f est décroissante entre ]0,4] et croissante entre [4,+oo[.
f est elle définie et continue sur son espace définition?
donc que peut on dire du point ( 4,f(4)) sur la courbe et donc de f(k) par rapport à f(4)
ensuite calcul f(k)-f(4) !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8e72cae1]

D'après tes pistes j'en est déduit que f(x) > 0 , donc V(k) > ln(k) j'ai divisé par x^²
V(k) / k^² > ln(k)/k²
donc je trouve ln(k)/k² < 1/ (k x V(k))
je pense que j'ai réussit à en déduire ma question 2?

[zyket]

Je le pense aussi, mais ...

quand tu divises par x², précise que tu peux le faire car x est toujours différent de 0, puisqu'il est élément de Df. De plus pense à préciser que le fait de diviser par un nombre strictement positif (x²) ne change pas le sens de l'inégalité.

(Je te mets en garde car je suis souvent tomber dans le piège d'inégalités qui devaient changer de sens parce qu'on multipliait de chaque côté par un nombre négatif)

[invite8e72cae1]

Ok merci je vais le rajouter ! ( pour précision de ce n'est pas un exo de terminal , mais je l'ai posté ici car le niveau au début est celui de terminal).
Mais la 3eme question j'essaie de trouver une piste la mais je bloque vraiment....

[zyket]

Alors attention on frise voir on dépasse mes capacités mathématiques ...

Je trouve


sans garantie ...

Après à priori doit être majorée ce qui reste à démontrer. Donc U(n) sera majorée, puisque toujours plus petite qu'une autre suite majorée. Il faudra démontrer que U(n) est croissante et alors comme on aura les deux conditions majorée et croissante on pourra dire que U(n) est convergente.

Y-a ka

[ansset]

pour la 3)
1/(2k x Racine(k)) < ou egal à 1/ (Racine (k-1)) - 1/(Racine(k))
soit a=1/(2k x Racine(k)) et
b=1/ (Racine (k-1)) - 1/(Racine(k))

on peut multiplier a et b par le conjugé de b ( qui est positif )
soit
a'=1/(2k*rac(k)) *(1/rac(k-1)+1/rac(k))
b'= (u-v)-(u+v) = 1/k(k-1)
reste à démontrer que a'<=b'
pour cela il faut essayer de majorer plusieurs fois a'
c'est pas très lourdingue.

[ansset]

Soit (un) la suite définie par pour tout n appartenant à N* , un = ln1/1² + ln2/ 2² + ln3/3² + .... + ln n / n²
......
4) déduire de ce qui précède que pour tout n appartenant à N* , un < ou égal à 2 - 2/(Racine(n))
La suite (un) est elle convergente? ( on ne demande pas de calculer la limite eventuelle)

bonjour,
pour la 4) on utilise ce qu'on sait déjà
1) Ln(k)/k²<=1/(k*rac(k))
2) 1/(2k*rac(k))<=1/(rac(k-1)-1/rac(k)

donc
Ln(k)/k² <=2(1/rac(k-1)-1/rac(k))
or
Un =somme (1à n) : Ln(k)/k²
prenons n=4 par exemple
U4=U1+somme(2à 4) Ln(k)/k²
=somme (2à 4) Ln(k)/k² ( U1=0 )

d'après ce qui précède
U4<=2*somme( 1/(rac(k-1)-1/rac(k))
tous les termes s'annulent sauf le premier et le dernier
U4<=2 ( 1/rac(1)-1/rac(2)+1/rac(2)-1/(rac(3)+1/rac(3)-1/rac(4))
U4<=2 (1-1/rac(4))

[ansset]

sinon
Un croissante, continue, et majorée par 2 donc convergente.

[zyket]

une suite continue ???

[ansset]

une suite continue ???

hihi ! je m'emballe ! j'ai voulu corriger en me relisant mais j'avais passé le delai autorisé !
A+
en espérant que le reste aidera fanatik !