récurrence et inégalité
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récurrence et inégalité



  1. #1
    cpalperou

    récurrence et inégalité


    ------

    Bonjour,
    je n'arrive pas à résoudre cet exo sur les suites:

    soit la suite (un) défini par u0=4 et un+1=0.5*(un+9/un)
    1/ montrer par récu que (un) est minoré par 3.
    2/ sens de variation de (un) ?
    3/ montrer par récu que un-3 < (1/2n)
    en déduire la valeur lim de un

    mes réponses:
    1/ Initialisaton : U0>3
    heredite: on suppose la propriété vraie au rang p: up>3
    alors, il faut montrer qu'elle l'est aussi au rang p+1:
    Up+1=0.5*(up2+9)/up
    on a up>3 donc up2-9>18 et (c'est là que je ne suis pas sûr):
    0.5*(up2+9)/up>0.5*18/3 d'ou up+1>3
    La propriéré est vrai au rang p+1.
    conclusion: un est minoré par la valeur 3

    2/ pas de problème: un est décroissante

    3/ initialisation OK.
    hérédité: on suppose sue up-3<1/2p et on montre qu'alors up+1-3<1/2p+1
    et là, je bloqie.

    Merci de me confirmer ma réponse à la question 1 et de m'aider sur la 3.
    Merci

    -----

  2. #2
    danyvio

    Re : récurrence et inégalité

    Citation Envoyé par cpalperou Voir le message
    on a up>3 donc up2-9>18 et (c'est là que je ne suis pas sûr):
    Je ne saisis pas l'arithmétique de cette ligne
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  3. #3
    zyket

    Re : récurrence et inégalité

    Bonjour,

    en effet [quote]on a up>3 donc up^2-9>18[/quote ] est faux. Erreur de signe ff
    Dernière modification par zyket ; 10/12/2011 à 17h37.

  4. #4
    cpalperou

    Re : récurrence et inégalité

    Citation Envoyé par danyvio Voir le message
    Je ne saisis pas l'arithmétique de cette ligne
    Oui, mes excuses: je me suis trompé:
    il fallait que j'écrive:
    "on a up>3 donc up2 + 9>18"

    Par contre zyket, il n'y a pas eu erreur de signe!
    Est-ce que la suite de mon raisonnement dans mon 1er post pour la 1ère question, en considérant la correction ci-dessous se tient?

    Et la 3ème question ?
    merci

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    zyket

    Re : récurrence et inégalité

    Tout bon pour le début

    Pour la fin:
    Puisque Un est décroissante, relation entre u_p et u_(p+1) ? d'où entre 0,5*(u_p-3) et 0,5*(u_(p+1)-3) ?
    Dernière modification par zyket ; 10/12/2011 à 20h33.

  7. #6
    zyket

    Re : récurrence et inégalité

    J'ai dit tout bon pour le début, mais personnellement en revérifiant, je bloque. Pourrais-tu détailler ta démonstration ?
    Personnellement je parts de u_p>3 d'où (u_p)^2>9 (car la fonction x² est croissante sur R+) d'où (u_p)^2 +9>9+9 d'où 0,5*((u_p)^2 +9)>0,5*18 . Mais après ????

  8. #7
    zyket

    Re : récurrence et inégalité

    Quelques recherches sur le net et j'ai trouvé cela http://membres.multimania.fr/ericmer...es/racines.htm . Le problème posé ressemble étrangement à la méthode de Héron d'Alexandrie pour extraire une racine carré.

  9. #8
    3omda24

    Re : récurrence et inégalité

    essayer de montrer que ( u_p+1 - 3) est positif

  10. #9
    3omda24

    Re : récurrence et inégalité

    pour le 3éme question aussi on utilise l'expression de u_p+1 - 3 = (u_p - 3)^2/2u_p et essayer de la majorer
    pour la lim c'est simple

  11. #10
    zyket

    Re : récurrence et inégalité

    Merci 3omda24, pour la question 1) j'ai enfin trouvé grâce à une belle identité remarquable.

    Pour la 3 je crois que j'ai plus simple et il me semble que je n'utilise pas de majorant :

     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par zyket ; 11/12/2011 à 00h40.

  12. #11
    cpalperou

    Re : récurrence et inégalité

    Citation Envoyé par zyket Voir le message
    Merci 3omda24, pour la question 1) j'ai enfin trouvé grâce à une belle identité remarquable.

    Pour la 3 je crois que j'ai plus simple et il me semble que je n'utilise pas de majorant :

     Cliquez pour afficher
    Merci,
    suite à ce que tu as écris:
    ... d'où 1/2(up+1-3) < (1/2)p+1 d'où up+1 < (1/2)p
    ce ui n'est pas la solution, fallait up+1<(1/2)p+1

  13. #12
    3omda24

    Re : récurrence et inégalité

    on a u_p+1 -3=0.5*(u_p -3 + (9/u_p) - 3 )= 0.5*( u_p -3 + 3*( 3- u_p)/u_p ) inf a 0.5*(u_p -3) car 3*(3 - u_p)/u_p est négatif or 0.5*(u_p-3) inf a 0.5*(1/2)^p d'ou le résultat u_p+1 -3 inf a (1/2)^p+1

  14. #13
    zyket

    Re : récurrence et inégalité

    à 3omda24, et merci à cpalperou qui a très bien vu mon erreur.

    A propos de ce genre de démonstration où personnellement je tâtonne toujours beaucoup, y aurait-il une stratégie un peu plus efficace que le tâtonnement ?

  15. #14
    cpalperou

    Re : récurrence et inégalité

    Merci beaucoup

  16. #15
    3omda24

    Re : récurrence et inégalité

    Merci infinment

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