récurrence et inégalité

[cpalperou]

Bonjour,
je n'arrive pas à résoudre cet exo sur les suites:

soit la suite (u_n) défini par u₀=4 et u_n+1=0.5*(u_n+9/u_n)
1/ montrer par récu que (un) est minoré par 3.
2/ sens de variation de (un) ?
3/ montrer par récu que u_n-3 < (1/2ⁿ)
en déduire la valeur lim de u_n

mes réponses:
1/ Initialisaton : U0>3
heredite: on suppose la propriété vraie au rang p: u_p>3
alors, il faut montrer qu'elle l'est aussi au rang p+1:
U_p+1=0.5*(u_p²+9)/u_p
on a u_p>3 donc u_p²-9>18 et (c'est là que je ne suis pas sûr):
0.5*(u_p²+9)/u_p>0.5*18/3 d'ou u_p+1>3
La propriéré est vrai au rang p+1.
conclusion: un est minoré par la valeur 3

2/ pas de problème: un est décroissante

3/ initialisation OK.
hérédité: on suppose sue u_p-3<1/2^p et on montre qu'alors u_p+1-3<1/2^p+1
et là, je bloqie.

Merci de me confirmer ma réponse à la question 1 et de m'aider sur la 3.
Merci
-----

[danyvio]

on a u_p>3 donc u_p²-9>18 et (c'est là que je ne suis pas sûr):

Je ne saisis pas l'arithmétique de cette ligne

[zyket]

Bonjour,

en effet [quote]on a up>3 donc up^2-9>18[/quote ] est faux. Erreur de signe ff

[cpalperou]

Je ne saisis pas l'arithmétique de cette ligne

Oui, mes excuses: je me suis trompé:
il fallait que j'écrive:
"on a u_p>3 donc u_p² + 9>18"

Par contre zyket, il n'y a pas eu erreur de signe!
Est-ce que la suite de mon raisonnement dans mon 1er post pour la 1ère question, en considérant la correction ci-dessous se tient?

Et la 3ème question ?
merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[zyket]

Tout bon pour le début

Pour la fin:
Puisque Un est décroissante, relation entre u_p et u_(p+1) ? d'où entre 0,5*(u_p-3) et 0,5*(u_(p+1)-3) ?

[zyket]

J'ai dit tout bon pour le début, mais personnellement en revérifiant, je bloque. Pourrais-tu détailler ta démonstration ?
Personnellement je parts de u_p>3 d'où (u_p)^2>9 (car la fonction x² est croissante sur R+) d'où (u_p)^2 +9>9+9 d'où 0,5*((u_p)^2 +9)>0,5*18 . Mais après ????

[zyket]

Quelques recherches sur le net et j'ai trouvé cela http://membres.multimania.fr/ericmer...es/racines.htm . Le problème posé ressemble étrangement à la méthode de Héron d'Alexandrie pour extraire une racine carré.

[invitec8e03ff9]

essayer de montrer que ( u_p+1 - 3) est positif

[invitec8e03ff9]

pour le 3éme question aussi on utilise l'expression de u_p+1 - 3 = (u_p - 3)^2/2u_p et essayer de la majorer
pour la lim c'est simple

[zyket]

Merci 3omda24, pour la question 1) j'ai enfin trouvé grâce à une belle identité remarquable.

Pour la 3 je crois que j'ai plus simple et il me semble que je n'utilise pas de majorant :

 Cliquez pour afficher

on a u_p - 3<(1/2)^p d'où (1/2)*(u_p - 3)<(1/2)^(p+1)
Or comme U_n est décroissante on a : u_(p+1)<u_p d'où u_(p+1)-3<u_p-3 d'où 1/2(u_(p+1)-3)<1/2(u_p-3)
Or (1/2)*(u_p - 3)<(1/2)^(p+1) d'où .....

[cpalperou]

Merci 3omda24, pour la question 1) j'ai enfin trouvé grâce à une belle identité remarquable.

Pour la 3 je crois que j'ai plus simple et il me semble que je n'utilise pas de majorant :

 Cliquez pour afficher

on a u_p - 3<(1/2)^p d'où (1/2)*(u_p - 3)<(1/2)^(p+1)
Or comme U_n est décroissante on a : u_(p+1)<u_p d'où u_(p+1)-3<u_p-3 d'où 1/2(u_(p+1)-3)<1/2(u_p-3)
Or (1/2)*(u_p - 3)<(1/2)^(p+1) d'où .....

Merci,
suite à ce que tu as écris:
... d'où 1/2(u_p+1-3) < (1/2)^p+1 d'où u_p+1 < (1/2)^p
ce ui n'est pas la solution, fallait u_p+1<(1/2)^p+1

[invitec8e03ff9]

on a u_p+1 -3=0.5*(u_p -3 + (9/u_p) - 3 )= 0.5*( u_p -3 + 3*( 3- u_p)/u_p ) inf a 0.5*(u_p -3) car 3*(3 - u_p)/u_p est négatif or 0.5*(u_p-3) inf a 0.5*(1/2)^p d'ou le résultat u_p+1 -3 inf a (1/2)^p+1

[zyket]

à 3omda24, et merci à cpalperou qui a très bien vu mon erreur.

A propos de ce genre de démonstration où personnellement je tâtonne toujours beaucoup, y aurait-il une stratégie un peu plus efficace que le tâtonnement ?

[cpalperou]

Merci beaucoup

[invitec8e03ff9]

Merci infinment