Démonstration par récurrence (Suite)

[ZesteDeSoleil]

Bonjour

J'ai des problèmes pour résoudre un exercice.
Il faut démontrer que la fonction u(n) appartient à [-3;2[ pour tout n appartenant à N.
u(n)=(2n-3)/(n+1)

Je commence donc ma récurrence, mais je bloque au niveau de l'hérédité :

Je veux démontrer que -3 ≤ u(n+1) < 2.

-3 ≤ u(n) < 2

-3 ≤ (2n-3)/(n+1) < 2

Je multiplie des deux côtés le numérateur et le dénominateur par (n+1).
(-3n-3)/(n+1) ≤ (2n-3)/(n+1) < (2n+2)/(n+1)

J'ajoute 2 au numérateur et 1 au dénominateur pour obtenir au milieu la valeur de u(n+1).
(-3n-3+2)/(n+1+1) ≤ (2n-3+2)/(n+1+1) < (2n+2+2)/(n+1+1)

(-3n-1)/(n+2) ≤ (2n-1)/(n+2) < (2n+4)/(n+2)

(-3n-1)/(n+2) ≤ (2n-1)/(n+2) < 2(n+2)/(n+2)

(-3n-1)/(n+2) ≤ u(n+1) < 2

Et là je bloque...
Je vous remercie énormément !
-----

[gerald_83]

Il y a pas une erreur là ?

Je multiplie des deux côtés le numérateur et le dénominateur par (n+1).
(-3n-3)/(n+1) ≤ (2n-3)/(n+1) < (2n+2)/(n+1)

En multipliant par n+1 ce sont tous les termes de l'inégalité que tu dois prendre en compte, non ?

[ZesteDeSoleil]

Je ne comprends pas ce que vous voulez dire...

[invite11d3f2b6]

l'erreur n'est pas là relie bien

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite11d3f2b6]

on t'a imposé la récurrence?

[invite11d3f2b6]

(2n-3)/(n+1)=(n+1+n+1-5)/(n+1)=2-5/(n+1)

[zyket]

(-3n-3)/(n+1) ≤ (2n-3)/(n+1) < (2n+2)/(n+1)

J'ajoute 2 au numérateur et 1 au dénominateur pour obtenir au milieu la valeur de u(n+1).
(-3n-3+2)/(n+1+1) ≤ (2n-3+2)/(n+1+1) < (2n+2+2)/(n+1+1)

erreur a/b=c/d n'implique absolument pas que (a+2)/(b+1)=(c+2)/(d+1)

par exemple 1/2=2/4 or (1+2)/(2+1)=1 est différent de (2+2)/(4+1)=4/5

[ZesteDeSoleil]

Non la récurrence ne m'a pas été imposée mais je n'ai pas appris d'autres méthodes...

Et jo-maths comment peux-tu passer de (n+1+n+1-5)/(n+1) à 2-5/(n+1), tu en as fait quoi des 2n ? ^^"

Et effectivement zyket, mais du coup je ne sais vraiment pas comment faire...

[ansset]

Bonjour

J'ai des problèmes pour résoudre un exercice.
Il faut démontrer que la fonction u(n) appartient à [-3;2[ pour tout n appartenant à N.
u(n)=(2n-3)/(n+1)
!

oui, tu peux faire autrement qu'une recurence.
par exemple ecrire (2n-3)/(n+1)=(2n+2-5)/(n+1) soit
2 -5/(n+1)
donc tu peux maximiser et minimiser la formule.

[ansset]

ou vois tu un 2n ?
comme dit avant moi par jo ( que je n'avais pas lu pardon ) l'équation peut s'écrire :
2 - 5/(n+1)
donc forcement inférieure à 2 et supérieure à ??

[gerald_83]

Essaye de voir pour quelle valeur de n l'équation 5/(n+1) sera maximum, ensuite tu en déduiras ce que tu cherches

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Je me permets de détailler un peu l'origine de la forme obtenue par ansset et jo-maths...
enfin de la réécrire plus lisiblement, en espérant qu'ils ne m'en voudront pas



Ajouter 0 permet de se sortir de beaucoup de situations désagréables...

Donc pour n=0, on a ...
et pour , on a ...

Duke.

[ansset]

Je me permets de détailler un peu l'origine de la forme obtenue par ansset et jo-maths...
enfin de la réécrire plus lisiblement, en espérant qu'ils ne m'en voudront pas!

certainement pas
surtout que c'est un reflexe très utile par exemple pour toutes les recherches d' asymptotes des P(x)/Q(x) ....
horizontales, verticales ou obliques !