Somme d'exponentielle ...

[invite657ca9d1]

Bonsoir,j'espère que quelqu'un sur cette planète réussira à m'aider ... SOS d'une jeune femme en détresse ...
Je cherche deux choses :
La première : comment calculer la somme suivante ? S=1+exp(1/n)+exp(2/n)+...+exp((n-1)/n) ... J'avoue être un peu perdue ...
La seconde : comment calculer la primitive de cos(lnx) ... J'ai essayé l'intégration par partie mais ... je tourne en rond (en carré, ce serait plus délicat !). Ma gentille machine à calculer m'indique que la primitive de
cos(lnx) est égale à (x/2)(sin(lnx)+cos(lnx)) mais comment arriver jusque là ? Evidemment je pourrais partir du résultat et bidouiller un truc mais ca ne fait pas très "naturel" ...
Merci d'avance à tous ceux et celles qui voudront bien m'aider avant que ma tête n'explose !
Véro
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[inviteea028771]

Pour la première, il suffit de se rappeler que :



On trouve alors une somme classique (somme d'une suite g... )

Pour la seconde, c'est en effet à l'aide d'une intégration par partie

Il faut écrire cos(ln(x)) = 1*cos(ln(x)) puis poser u'= 1 et v = cos(ln(x))

On tombe alors sur une intégrale de sin(ln(x)), on intègre encore une fois par partie avec u'= 1 et v = sin(ln(x))

On arrive alors à une expression de la forme :



Il suffit alors de mettre les deux intégrales du même coté et on trouve :



C'est probablement cette "astuce" qui te bloquait

[invite3c51923e]

-_- grillé mais pour la seconde, faire le changement de variable x = e(u) permet peut-être de simplifier les choses.

[PlaneteF]

comment calculer la primitive de cos(lnx) ... J'ai essayé l'intégration par partie mais ... je tourne en rond (en carré, ce serait plus délicat !). Ma gentille machine à calculer m'indique que la primitive de
cos(lnx) est égale à (x/2)(sin(lnx)+cos(lnx)) mais comment arriver jusque là ? Evidemment je pourrais partir du résultat et bidouiller un truc mais ca ne fait pas très "naturel"

Bonsoir,

Tu fais le changement de variable puis tu intègres 2 fois par parties, c'est-à-dire quand tu intègres la première fois par parties tu va récupérer une autre intégrale que tu intègres par parties exactement de la même manière que la première, ...

... et ainsi tu verras, le calcul n'est pas compliqué, tu retombes bien sur la solution de ta machine !

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Ah, sinon pour l'intégrale, une autre méthode plus bourrine mais directe, en passant par la formule d'Euler :



On intègre avec la formule classique (comme si i était un réel) :



En retripatouillant l'expression dans l'autre sens on obtient le résultat (on met d'abord un x en facteur, puis on met tout au même dénominateur : on fait alors apparaitre un sinus et un cosinus du log)

[invite705d0470]

Pfff, grillé (depuis longtemps en fait ^^).
L'astuce, donnée par ma prof de terminale, est , comme le dit bien planeteF, de considérer deux IPP successives en gardant à chaque fois la même fonction en dérivée. C'est très eficaces pour les fonctions circulaires comme sinus et cosinus, dont les dérivées permettent de retomber successivement sur l'une puis l'autre.
Autre exemple très proche: trouver une primitive de :
Si tu choisis de considerer l'exponentielle comme dérivée, tu as la première intégration par partie: .
Ici, tu reconsidères une seconde intégration par partie, en continuant de poser (sinon tu tournes en rond, justement !): .
Tu retrouves bien la conséquence que t'as montré Tryss: . Une primitive de f est donc .

En espérant que cet exemple puisse t'être utile

Snowey