Homothétie spé maths

[invite08a55815]

Bonjour, j'aurais besoin d'un peu d'aide ..

ABC est un triangle rectangle en A et C est le cercle de centre B et de rayon AB.

On note h, l'homothétie de centre C et de rapport 2 et d la droite (AC).

1 Construire C' et d' images respectives de C et de d par l'homothétie h.
2 Démontrer que la droite d' est tangente à C'

Merci
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[invite7f2ac864]

une homothétie est un "agrandissement" ou "rétrécissement" par rapport à un point.

Ici, tu as une homothétie de rapport 2 et de centre C.

A-------------C par h donne A'--------------------------C(ouC').

L'image du centre par h est lui même donc C' = C.

[invite08a55815]

Euh je n'ai pas compris

[invite7f2ac864]

Une homothétie de C formant C' peut s'écrire (c' - c) = 2(c-c) <=> c' = c

L'image C' de C par h est C soit c' = c.

Partant de là et sachant que AC = d = c - a donc d' = A'C' = A'C = c - a'

(c-a'-c) = 2(c-a-c)
-a' = -2a
a' = 2a

Donc d'=2d soit si d = C----A alors d'= C--------A.


edit: je pense que c'est encore moins clair. Mais simplement le segment [A'C'] = [A'C] = 2 [AC]

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite08a55815]

Je n'ai pas compris pourquoi C'=C

[invite7f2ac864]

L'homothétie c'est l'agrandissement par rapport à un point (ici C). Donc l'agrandissement de C par rapport à lui-même reste C. Donc C'=C avec C' l'image de C par h.

c'-c = k (c-c) <=> c' = c

[invite08a55815]

Et comment prouve t'on que d' est tangente a C' ?

[invite7f2ac864]

1. pour tracer le point A' et C' donc la droite d et d'.
2. La droite d et d' sont confondues (colinéaires). Or d est perpendiculaire à au rayon [AB] du cercle C donc d est la tangente du cercle au point A, de même pour d'. Par contre il n'y a pas de cercle C' et non plus de tangente au point C'.

[invite08a55815]

Pourtant l'énoncé est tel : Démontrer que la droite d' est tangente à C'

[invite7f2ac864]

C' le cercle ou le point ?

[invite08a55815]

Bah C' est l'images de C par l'homothétie h donc c'est un cercle ? non ?

[invite7f2ac864]

ok j'ai compris le problème, il faut tracer le cercle C' image du cercle C par h.

Il faut d'abord tracer le cercle C. Puis tu prend un point M quelconque de C.
L'homothétie s'écrit:


On connait BM, c'est le rayon du cercle qui vaut AB.
Donc pour avoir M', tu trace puis .

Une fois que tu as le point M', tu trace le cercle C' de centre B' tel que (En gros tu la déjà) et de rayon B'M'.

On voit que le cercle C' est tangente à la droite d.

Maintenant on veut d' par h soit comme j'ai déjà précisé que C=C'.
On remarque que le cercle C' passe par A'.

[invite08a55815]

Et comment le démontrer ?

[invite7f2ac864]

Je viens d'y réfléchir, voilà ce que je dirais:

On remarque qu'il y a deux triangles rectangles ABC et A'B'C' triangle en A et A'. Il faut donc démontrer que A'B'C' est un triangle rectangle en A' et que B' est le centre du cercle C' pour démontrer que d' est la tangente à C' en A'.

Or on a et donc d'après thalès, et les droites (BA) et (B'A') sont parallèles. Or (BA) et (AC) sont perpendiculaires donc (A'C) est perpendiculaire à (A'B').
B' est le centre de C' puisque c'est l'image de B par h, on sait que B est le centre de C.

Donc C' a pour rayon B'A' et d' est perpendiculaire à B'A' donc d' est la tangente à C' en A'.

[invite08a55815]

J'ai un peu de mal, je pense mettre trompée dans ma figure