[TS] Tétraèdre associés de Moebius

[Jon83]

Bonjour à tous!

Je cherche à résoudre l'exercice suivant:

Deux tétraèdres sont deux tétraèdres associés de Moebius lorsque chaque sommet d'un tétraèdre se trouve dans le plan d'une face de l'autre et réciproquement.
Soit ABCD un tétraèdre non aplati. On considère les barycentres A', B', C', D' des systèmes de points pondérés respectifs:
{(B,1) , (C,1) , (D,1)}
{(A,1) , (C,1) , (D,-1)}
{(A,1) , (D,1) , (B,-1)}
{(A,1) , (B,1) , (C,-1)}

1°) Montrer que A est le centre de gravité du triangle B'C'D'

Là, pas de problème: on montre facilement que

2°) Montrer que B est le barycentre du système {(A',3) , (C',-1) , (D',1)}.
Donner, en la justifiant, une propriété analogue pour C' et D'.

Sur cette question, je tourne en rond sans aboutir.... Merci d'avance pour votre aide!

NB: en pièce jointe le dessin géospace
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[Jon83]

ça n'inspire personne?

[invite4ff70a1c]

Salut Jon.
Soit K le barycentre du système {(A';3)(C';-1)(D';1)} en prenant bien sur C' barycentre de {(A;-1)(D;-1)(B;1)}
(j'ai multiplié les coefficients par -1).L'associativité nous permet d'écrire :
K barycentre du système {(B1)(C1)(D1)(A-1)(D-1)(B1)(A1)(B1)(C-1)};il suffit de simplifier.

[Jon83]

Bonjour Sammy93!

Merci pour ta réponse! C'est simple, mais efficace, et il fallait y penser! Bravo et merci encore!
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

On peut ainsi démontrer, par associativité des barycentres que:
A=bar{(B',1);(C',1);(D',1)} donc A appartient au plan (B'C'D')
C=bar{(A',1);(B',1);(D',-1)} donc C appartient au plan (A'B'D')
D=bar{(A',1);(B',-1);(C',1)} donc D appartient au plan (A'B'C')

On peut donc conclure que ABCD et A'B'C'D' sont deux tétraèdres associés de Moebius!!!