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[TS] Tétraèdre associés de Moebius



  1. #1
    Jon83

    [TS] Tétraèdre associés de Moebius


    ------

    Bonjour à tous!

    Je cherche à résoudre l'exercice suivant:

    Deux tétraèdres sont deux tétraèdres associés de Moebius lorsque chaque sommet d'un tétraèdre se trouve dans le plan d'une face de l'autre et réciproquement.
    Soit ABCD un tétraèdre non aplati. On considère les barycentres A', B', C', D' des systèmes de points pondérés respectifs:
    {(B,1) , (C,1) , (D,1)}
    {(A,1) , (C,1) , (D,-1)}
    {(A,1) , (D,1) , (B,-1)}
    {(A,1) , (B,1) , (C,-1)}

    1°) Montrer que A est le centre de gravité du triangle B'C'D'

    Là, pas de problème: on montre facilement que

    2°) Montrer que B est le barycentre du système {(A',3) , (C',-1) , (D',1)}.
    Donner, en la justifiant, une propriété analogue pour C' et D'.

    Sur cette question, je tourne en rond sans aboutir.... Merci d'avance pour votre aide!

    NB: en pièce jointe le dessin géospace

    -----
    Images attachées Images attachées  

  2. Publicité
  3. #2
    Jon83

    Re : [TS] Tétraèdre associés de Moebius

    ça n'inspire personne?

  4. #3
    sammy93

    Re : [TS] Tétraèdre associés de Moebius

    Salut Jon.
    Soit K le barycentre du système {(A';3)(C';-1)(D';1)} en prenant bien sur C' barycentre de {(A;-1)(D;-1)(B;1)}
    (j'ai multiplié les coefficients par -1).L'associativité nous permet d'écrire :
    K barycentre du système {(B1)(C1)(D1)(A-1)(D-1)(B1)(A1)(B1)(C-1)};il suffit de simplifier.

  5. #4
    Jon83

    Re : [TS] Tétraèdre associés de Moebius

    Bonjour Sammy93!

    Merci pour ta réponse! C'est simple, mais efficace, et il fallait y penser! Bravo et merci encore!
    A+

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Jon83

    Re : [TS] Tétraèdre associés de Moebius

    On peut ainsi démontrer, par associativité des barycentres que:
    A=bar{(B',1);(C',1);(D',1)} donc A appartient au plan (B'C'D')
    C=bar{(A',1);(B',1);(D',-1)} donc C appartient au plan (A'B'D')
    D=bar{(A',1);(B',-1);(C',1)} donc D appartient au plan (A'B'C')

    On peut donc conclure que ABCD et A'B'C'D' sont deux tétraèdres associés de Moebius!!!
    Dernière modification par Jon83 ; 21/03/2012 à 09h28.

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