Pour le II : on pourrait peut être montrer par récurrence force que pour tout n
U0 > ou = 2^nUn
ou
U0 > ou = 2^(n-1)Un
ou
U0 > ou = 2^(n-2)Un
selon les termes qui appartiennent ou pas à cette "moitié"
puis appliquer le théo. des gendarmes
Ca vs semble correct ?
Wow! C'est vrai qu'elle est belle!Envoyé par leoleo730
Sinon j'en avais une autre mais pas aussi bien:
C'est une récurrence sur b
Initialisation avec b=0, cf la citation ci-dessus...
L'hypothèse de récurrence est ab≤ab ce qui équivaut à b≤ab-1
ab-1=e(b-1).ln(a)
Et on sait d'après une propriété de l'exponentielle que x+1≤ex et qu'en fait cette égalité se vérifie aussi s'il y a un coefficient réel devant le x, en l'occurrence ln(a).
Ainsi au rang (b+1) on vérifie que b+1≤eb.ln(a) et cette égalité est vraie.
Ainsi on a bien b+1≤ab ce qui est équivalent à a(b+1)≤ab+1
S'en suit le blabla sur la récurrence...
(mon idée sur le problème II) (je trouve la démonstration de angelblacks très bien j'y avais pas pensé mais est-ce qu'on peut vraiment faire ca car TOUS les termes u0, u1..., u(n-1) ne sont pas >= Un , seulement la moitié au minimum ?)
Problème II :
- Il y a une infinité de suite vérifiant la condition du problème.
(ex : u0 = 1 ; u1 = 1/2 ; u2 = 1/4 ; u3 = 1/4... ou encore u0=1 ; u1 = 1/2 ; u2 = 1/4 ; u3 = 1/200 ; u4 = 1/4... )
- Tous les termes de Un sont positifs, 0 est donc un minorant de (Un), or 0 est aussi la limite que l'on cherche à trouver. On peut donc chercher la limite de la plus grande suite (Un) (celle composée des termes les plus grands). [dsl pour les notation c'est pas très heureux]
si Un(max) >= Un > 0 et lim Un(max) = 0 alors lim Un = 0
- On pose E un ensemble contenant exactement la moitié des termes de (Un) excepté Un (le dernier), on note que E contient éventuellement la moitié +1/2 éléments si n est impair.
Comme on cherche la limite de la plus grande suite (Un) possible, E contient les plus grands éléments de (Un).
On pose min(E) = le plus petit élément de E
Un doit donc vérifier : min(E) >= 2Un <==> Un = min(E)/2 [car on cherche la suite la plus grande possible]
On va maintenant chercher a passer au rang (n+1) :
-si n est pair :
(n+1) est impair, E contient donc maintenant [(n+1)+1]/2 éléments , soit un élément de plus que précédemment.
Or nous avions pris les plus grands éléments de (Un), le nouvel élément (p) vérifie donc p =< min (E) ; ce nouvel élément est donc le nouveau minimum de E.
D'ou Un+1 = p/2 <==> Un+1 =< Un
-si n est impair :
(n+1) est pair, E contient donc maintenant (n+1)/2 élément, soit autant d'élément que précédemment.
D'ou Un+1 = min(E)/2 = Un
On a montré que (Un) est décroissante. (pas strictement)
Elle est minorée par 0, elle admet donc une limite réelle. (rappel pour un post que j'ai vu page 1 : 0 est un réel)
On appelle cette limite L.
[c'est a ce moment là que je patinais un peu...] :
On se place au rang 2n ; l'ensemble E contient donc n éléments, or (Un) est décroissante, E contient donc les n premiers éléments de (Un) (particulièrement E contient u(n) ).
(Un) est décroissante u(n) est donc le plus éléments de E (car c'est le dernier des n premiers éléments de (Un).
d'où u(2n) = u(n)/2
de même si on se place au rang 4n : u(4n) = u(2n)/2 = u(n)/4
on en déduit que pour tout m entier naturel on a : u(2m*n) = u(n)/(2^m)
{déterminons maintenant la limite} :
[il y a unicité de la limite de la suite (Un)]
lim u(n) = lim u(2m*n) = lim u(n)/(2^m) = 0
(car on peut faire tende m vers l'infini pour faire tendre 2m*n vers l'infini et que u(n) est un réel)
C'est pas très beau partout et je sais pas si ça tient la route, donnez vos avis, je rappel que c'est la plus grande suite (Un) qui a été étudiée ici.
désolé j'ai relu mon message y a des fautes de frappes, j'espère que cela ne genera pas trop la lecture
Non ça ne marche pas.
Il faut plutôt montrer par récurrence (et c'est très facile !) que pour tout n supoérieur ou égal à 2 : u(n) <= 3/(n+2). La suite en découle sans pb.
On peut même faire quelques généralisations.
Comment fais-tu la récurrence dans ce cas? Et on ne voit pas vraiment la spécificité de la suite du problème, non?... Peux-tu m'expliquer?
Merci =)
Il me semble que pour 8 et 9 on tombait sur un nombre impair de trajets, donc avec une médiane, mais je ne sais plus....
Là de but en blanc, je dirais :
Pour n=3 E(x)=4
Pour n=4, E(x)= 6,666 de mémoire
Pour n>4 E(x)= la formule qu'on a trouvé
Ou alors peut être avec une disjonction des cas en considérant les cas ou il y a un nombre de trajets impairs et un nombre de trajets pairs...
Enoncé et éléments de correction vers le lien suivant
http://lyc89-larousse.ac-dijon.fr/spip.php?article2021
voici une solution pour l'exo2
il est aisé de conjecturer que pour tout n>=1 on a: " tous les termes de la suite compris allant de u(2^n-1) à u(2^(n+1)-2) sont inférieurs ou égaux à (1/2)^n"
puis faire une démo par récurrence: il est facile de vérifier que c'est vrai pour n=0 n=1 n=2 n=3 .....
pour l'hérédité un petit peu de réflexion mais rien de bien méchant.
