dm de maths

[Spouitch]

salut tout le monde, j'ai un exercice à faire et je coince...
on a d:3x-4y+7=0 et a (5,1)
trouver la plus courte distance de a à un point de d.
je ne comprends rien, pourriez vous m'aider ?
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[PlaneteF]

salut tout le monde, j'ai un exercice à faire et je coince...
on a d:3x-4y+7=0 et a (5,1)
trouver la plus courte distance de a à un point de d.
je ne comprends rien, pourriez vous m'aider ?

Bonjour,

Raisonne de manière géométrique, fais un petit dessin : Appellons le vecteur directeur de la droite (D), et H(x,y) le point de (D) tel que la distance HA soit la plus courte.

Sur ton dessin, comment doit être la droite (HA) par rapport à (D) ? ...
Avec quelle relation vectorielle entre et traduis-tu cela ?

[invite357f75ad]

As tu vu en cours la formule de la distance d'un point à une droite ?

Si tu l'as pas vue, alors tu peux (par exemple) poser puis étudier les variations de la fonction f qui a x associe MA.

[PlaneteF]

Bonjour,

Raisonne de manière géométrique, fais un petit dessin : Appellons le vecteur directeur de la droite (D), et H(x,y) le point de (D) tel que la distance HA soit la plus courte.

Sur ton dessin, comment doit être la droite (HA) par rapport à (D) ? ...
Avec quelle relation vectorielle entre et traduis-tu cela ?

En fait je viens de m'apercevoir que c'est la distance que l'on te demande (et non pas les coordonnées du point H).

Dans ce cas, il est beaucoup plus simple de raisonner, non pas avec le vecteur directeur de la droite, mais avec son vecteur normal.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Spouitch]

Bonjour,

Je sais que pour que la distance soit la plus petite, il faut que la droite (HA) soit perpendiculaire à (D), donc que le produit scalaire soit égal à 0. Mais je ne vois pas en quoi peut nous servir le vecteur normal, sachant qu'il ne fait pas la longueur du vecteur normal, si ? Je ne sais pas comment me servir du vecteur normal, en fait

[PlaneteF]

Bonjour,

Je sais que pour que la distance soit la plus petite, il faut que la droite (HA) soit perpendiculaire à (D), donc que le produit scalaire soit égal à 0. Mais je ne vois pas en quoi peut nous servir le vecteur normal, sachant qu'il ne fait pas la longueur du vecteur normal, si ? Je ne sais pas comment me servir du vecteur normal, en fait

En fait, utiliser le vecteur normal va te permettre de trouver la distance beaucoup plus facilement qu'avec le vecteur directeur. D'ailleurs c'est avec le vecteur normal que l'on démontre la formule de la distance d'un point à une droite.

Concrètetement, soit le vecteur normal de la droite (D).

Puisque , tu peux donc dire que et sont colinéaires, et donc, la valeur absolue du produit scalaire = produit des normes, soit :



Et donc :

A noter que le numérateur se simplifie (avec le x et le y qui disparaissent) en utilisant le fait que .

[Spouitch]

Mais on a pas vu que la valeur absolue du produit scalaire = produit des normes, je ne pense pas donc que le prof voulait qu'on se serve de cette propriété...
Je crois que le vecteur n (3, -4), car c'est le vecteur normal, c'est bien ça ?
Mais après ce que tu as écrit, je ne comprends pas quoi faire

[pesdecoa]

Bonsoir,

Avez vous envisagé la résolution de cette question du point de vu de l'intersection d'un cercle et d'une droite?

Cordialement

[Spouitch]

Bonsoir,
non, je n'y avait pas pensé, mais le prof a dit qu'il fallait se servir de ce qu'on avait fait en cours, soit les vecteurs directeurs et les vecteurs normaux, comme en a parlé PlaneteF tout à l'heure.
Mais là, je coince vraiment et je ne sais pas comment m'y prendre

[PlaneteF]

Mais on a pas vu que la valeur absolue du produit scalaire = produit des normes, je ne pense pas donc que le prof voulait qu'on se serve de cette propriété...

Attention, la valeur absolue d'un produit scalaire = produit des normes, uniquement si les 2 vecteurs sont colinéaires. Maintenant cette propriété se déduit immédiatement de la définition du produit scalaire. En effet :



Si et sont colinaires alors : , d'où la propriété ainsi évoquée.


Et donc pour en revenir à l'exo, on a :





donc :



Et puisque : ... je te laisse conclure

Pour le dénominateur, pas de problème pour calculer :

[Spouitch]

Alors, d'accord pour la propriété de la valeur absolue des produits scalaires = produit normes, et tes calculs, je les avais fait et j'avais trouvé ça (Miracle ! )
Mais je ne comprends quand même pas : comment est-il possible de trouver la distance AH avec ce calcul !
À quoi ça nous sert d'avoir ce résultat ?
P.S. : Je suis vraiment désolée, déjà que je ne suis pas une lumière en maths, mais alors à 22h45...

[PlaneteF]

Alors, d'accord pour la propriété de la valeur absolue des produits scalaires = produit normes, et tes calculs, je les avais fait et j'avais trouvé ça (Miracle ! )
Mais je ne comprends quand même pas : comment est-il possible de trouver la distance AH avec ce calcul !
À quoi ça nous sert d'avoir ce résultat ?
P.S. : Je suis vraiment désolée, déjà que je ne suis pas une lumière en maths, mais alors à 22h45...

Ben je t'ai quasiment tout donné, tu n'a plus qu'à faire une simple division, ... relis mes messages, tu as la formule qui te donne AH, le numérateur je te l'ai presque calculé entièrement, et le dénominateur est simple. Où est ton problème ?

[Spouitch]

Je trouve que la valeur de n est de √17, et si je suis ce que tu as écrit (et si j'ai bien compris), je finis par trouver AH= 12/√17 ?

[PlaneteF]

Je trouve que la valeur de n est de √17, et si je suis ce que tu as écrit (et si j'ai bien compris), je finis par trouver AH= 12/√17 ?

Non, ce n'est pas bon ...


Puisque : , alors , et donc :

[Spouitch]

Ah d'accord ! Il fallait reprendre la première expression et remplacer le (3x-4y) par -7 !
En effet, je n'avais pas pensé à ça, et l'exercice me paraît subitement plus clair et plus facile...
Mais j'avais quand même raison en disant que n = √17 ! ^ ^
Et bien, un grand merci, et je crois que je vais devoir augmenter ma logique et mon observation en maths...!
Je suis vraiment désolée de t'avoir fait subir ça... De m'aider alors que je ne pigeais rien !

[PlaneteF]

Mais j'avais quand même raison en disant que n = √17 ! ^ ^

Euhhh non, pourquoi tu dis çà ?? ...

[Spouitch]

Euh oui, là ça craint...
Dans ma tête, j'ai fait 9+16 = 17... ça craint du boudin

Me coucher tard ne me réussit pas !