Etude d'une suite particulière

[invite57a0da87]

Bonjour,

Voici l'énoncé:
1/ Etudier la suite (Un) déinie par U0=0 et .

2/ La même question pour

J'ai observé que U0=0 ; U1=9/4 ; U2=9/4 ....
Je voulais savoir si c'était la bonne manière de le démontrer par récurrence.

Pour la 2/ , j'ai observé que quand U0=1 alors Un=1
Pour u0=2 on retombe dans le cas où Un=9/4 quand n>1
Pour U0=3 idem que U0=2 ou U0=0
Pour U0=4 idem que U0=0
Pour U0=5 idem que U0=1
Pour U0=6 idem que U0=0
...
Pour U0=9, Un=9
Puis U0>9 , Un croissante

Je dois vous dire que lorsque j'ai vu c'est résultat j'ai été plus que surpris. Je me demande comment je pourrais démontrer cela, j'ai besoin de vos conseil
Merci d'avance
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[phys4]

Bonjour,

Vous pouvez résoudre l'inégalite U_n+1 > U_n ce qui revient à écrire

Vous aurez une équation du second degré à résoudre qui indiquera, en effet, que la suite est constante pour
U = 9 et croissante pour U > 9

Vous trouverez qu'elle est également croissante pour U < 1 et constante pour U = 1

[invite57a0da87]

J'ai fait une erreur quand U0=0, La suite converge vers 0.

Ceci étant dit j'ai résolu l'équation du 2nd degré et je tombe sur n1=9/4 et n2=1/4, je sais pas pourquoi j'ai les bons nombres mais divisés par 4??

[phys4]

Vous avez plusieurs problèmes, il y a une erreur dans l'équation du second degré, il faut trouver


Enfin pour U = 0 le résultat n'est pas 0 mais 9/4

Le seul point de convergence possible est 1, encore faut-il le démontrer !

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Suite du problème, après avoir obtenu le bon résultat il sera possible de déduire dans quels intervalles se situe le terme suivant pour Un dans les intervalles :
[0,1[ ]1,5] [5,9[ ]9, infini[
Pour les deux premiers intervalles les termes successifs alternent de l'un à l'autre, il faut donc démontrer que la série alternée tend vers la borne commune 1.

pour cela il faut calculer

relativement facile en faisant la différence des carrés dans les expressions et de

Pour deux termes successivement dans les intervalles [0,1[ ]1,5] vous pourrez montrer que -1 < R < 0

Donc que la différence entre deux termes successifs est alternée et décroissante en valeur absolue.

[invite57a0da87]

Est-ce normal que je trouve seulement deux solutions : 1 et 9 ?
Comment montrer qu'il existe 4 intervalles.

et pour U0=0 je trouve pour U1=9/4; U2=(9/4 - 3)²/4=(9/4 - 12/4)²/4= (-3/4)²/4=(9/16)/4=9/64
donc j'en conclus qu'elle va tendre vers 0,

J'ai calculé R= là je suis coincé et
J'espère ne pas avoir fait d'erreur.
En tout cas merci de m'avoir répondu^^

[phys4]

Est-ce normal que je trouve seulement deux solutions : 1 et 9 ?
Comment montrer qu'il existe 4 intervalles.

C'est très bon, nous en déduisons donc que la valeur trouvée augmente dans l'intervalle [0,1[ et dans l'intervalle ]9, inf[
Pour le premier, la valeur se retrouve dans ]1,9/4], pour le second la suite croit indéfiniment.
Entre les deux racines, le terme suivant est plus petit, comme U = 5 donne 1, nous voyons pour l'intervalle que au dessus de 5 nous obtenons une valeur supérieure à 1, et en dessous une valeur plus petite que 1.
Pour une valeur dans [0,1[ le résultat est supérieur à 1 mais plus petit que 5 donc les termes seront alternées de part et d'autre de 1.

et pour U0=0 je trouve pour U1=9/4; U2=(9/4 - 3)²/4=(9/4 - 12/4)²/4= (-3/4)²/4=(9/16)/4=9/64
donc j'en conclus qu'elle va tendre vers 0,

calcul correct, mais vous n'avez calculé qu'un terme : que devient le suivant ? un terme = 0 donne 9/4 également donc la valeur 0 n'est pas stable.
La valeur 1 redonne 1 comme l'indique l'équation précédente.

J'ai calculé R= là je suis coincé et
J'espère ne pas avoir fait d'erreur.

Il y a une erreur ou vous n'êtes pas parti des bonnes expressions :



donc

Ensuite vous appliquez la conclusion de mon message 5