Bonjour,
Quelqu'un pourrait'il m'aider:
Soit une suite (Un) définie par récurrence par Un+1=((n+1)/n)*Un^2.
On suppose d'abord U1=1/2. Et on me demande de montrer que pour tout entier n>=3, on a Un<=1/2*(3/4)^(2^(n-3)). Attention, il s'agit d'un "échafaudage" de puissances.
J'ai réussi à le démontrer par récurrence, donc je n'ai pas besoin d'explication pour la démonstration par récurrence. J'aurai aimé le démontrer si c'est possible en passant par la proposition que voici, ou par une autre façon si avez une idée à me soumettre.
Si quelque soit n>=0 et Un!=0 , abs(Un+1/Un)<L<1 alors (Un) converge vers 0.
Parce qu'en faite ce que je dois démontrer c'est la majoration de la suite (Un) par un terme constant, le premier terme de la suite et d'une suite géométrique de raison strictement inférieur à 1.
2eme question, on suppose U1 compris entre 0 et 1/2 et on me demande de déduire de la précédente inégalité que (Un) converge. ça je n'ai que des idée vague, à savoir majorer l'ensemble des suites de terme initiale compris entre 0 et 1/2 par 1/2*(3/4)^(2^(n-3)).
J'espère avoir été compréhensible. Merci d'avance.
-----