Etude d'une suite

[invite471bc9fd]

On définit la suite u par u0=1 et pour tout n appartenant aux entiers naturels, Un+1=Un+1/Un.

Montrer que Un>=1

J'ai tenté un raisonnement par récurrence
pour l'initialisation ca va U=1 or 1>=1 donc propriété démontrée pr n=0

Apres j'ai dit que Un=f(Un) avec f(x)=x+1/x
Après étude rapide de cette fonction, on voti qu'elle est croissante sur [-infini,-1]U[1,+infini]
Est ce que j'ai le droit de dire:
Un>=1
f est strictement croissante pr n>=1
f(Un)>=f(1)
Un+1>=2>1
donc propriété démontrée

Voila je pense pas que ca soit très juste vu que f n'est pas croissante pour tout n.
Si quelqu'un pouvait me corriger, ou me donner une autre piste de réponse, je lui serais très reconnaissant.
Merci davance
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[sadben2004]

On définit la suite u par u0=1 et pour tout n appartenant aux entiers naturels, Un+1=Un+1/Un.

Montrer que Un>=1

J'ai tenté un raisonnement par récurrence
pour l'initialisation ca va U=1 or 1>=1 donc propriété démontrée pr n=0

Apres j'ai dit que Un=f(Un) avec f(x)=x+1/x

Jusque ici c bon ! et c'est mem fini :

[invite471bc9fd]

Merci beaucoup!
J'aurai une autre question sur le meme exercice:
On définit la suite u par u0=1 et pour tout n appartenant aux entiers naturels, Un+1=Un+1/Un.
Montrer que cette suite tend vers + infini par un raisonnement par l'absurde.
J'ai prouvé qu'elle était croissante.Si elle est croissante, elle est soit convergente, soit elle tend vers + infini
Je suppose donc qu'elle converge.
Et la je bloque.
Pourriez-vous m'aider?
Merci d'avance

[invite7eb38865]

euh, a vue de nez, je dirais qu'elle est pas croissante, ta suite.
U1= 2, U2=3/2 ...

de plus, un+1=1 + 1/un.

Donc, si un est divergente vers l'infini, elle tendrait vers 1 :s

T'es sur que la question, c'est pas "montrez par l'absurde que un ne peut pas tendre vers l'infini"?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

euh, a vue de nez, je dirais qu'elle est pas croissante, ta suite.
U1= 2, U2=3/2 ...

de plus, un+1=1 + 1/un.

Donc, si un est divergente vers l'infini, elle tendrait vers 1 :s

T'es sur que la question, c'est pas "montrez par l'absurde que un ne peut pas tendre vers l'infini"?

Tu t'es planté , U2=5/2.
Et Un+1=Un +1/Un, donc il n'y aurait pas de contradiction à ce que Un tende vers l'infini.
D'ailleurs, cette suite est bien croissante car Un+1-Un=1/Un>0

[Thorin]

Merci beaucoup!
J'aurai une autre question sur le meme exercice:
On définit la suite u par u0=1 et pour tout n appartenant aux entiers naturels, Un+1=Un+1/Un.
Montrer que cette suite tend vers + infini par un raisonnement par l'absurde.
J'ai prouvé qu'elle était croissante.Si elle est croissante, elle est soit convergente, soit elle tend vers + infini
Je suppose donc qu'elle converge.
Et la je bloque.
Pourriez-vous m'aider?
Merci d'avance

si un converge, alors sa limite m est solution de l'équation m=m+1/m (point fixe).
Donc, m=1...ce qui est absurde,puisque la suite est croissante et strictement supérieur à 1 dès U2.

[invite7eb38865]

Aha, au temps pour moi, j'avais lu un+1=(un +1)/un ^^

D'où mes allégations farfelues :P