Groupe Diédral

[james_83]

Bonsoir à tous,

J'ai un problème avec une petite question...

On considère le groupe diédral D5 (d'ordre 10).
Si h est un morphisme de groupe de D5 à valeur dans l'ensemble des automorphismes du plan tel que pour tout g dans D5, h(g) est la transformation du plan relative à g.
Il faut montrer que le morphisme ne laisse aucun sous espace propre du plan invariant.

En correction, je vois marqué, h(r) ne laisse aucun sous espace propre (s-e-p) invariant où r est la rotation d'angle 2Pi/5.

Je ne comprends car par définition, il faut montrer que h(g) ne laisse aucun s-e-p invariant pour tout g dans D5.
Me viennent alors plusieurs questions :

pour g = Identité, h(g) est la transformation identité donc tout s-e-p est invariant, donc il faut dire dans la définition pour tout g différent de l'élément neutre ?

pour g = symétrie dont l'axe est dirigé par le vecteur d'angle polaire Pi/5, la droite vectorielle correspondant à cet axe est un s-e-p du plan et reste invariante par h(g)...donc j'arrive à une contradiction... ?


Si vous pouvez m'éclairer...

Merci beaucoup
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[james_83]

[invitea41c27c1]

Ce que l'énoncé veut dire c'est: montrer qu'il n'y a pas de sous-espace propre commun.

A noter qu'on parle du sous-espace invariant du morphisme h et non pas de chaque isométrie h(g).

Cordialement.

[james_83]

Bonjour Garnet,

Merci pour ta réponse mais je ne comprends toujours pas...
par définition, un sous espace W est invariant par un morphisme h si h(x)(W) est inclu dans W pour tout x dans le groupe.

Donc je ne vois pas où est mon erreur ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea41c27c1]

Bonjour Garnet,

Merci pour ta réponse mais je ne comprends toujours pas...
par définition, un sous espace W est invariant par un morphisme h si h(x)(W) est inclu dans W pour tout x dans le groupe.

Donc je ne vois pas où est mon erreur ?

Et donc si tu prends x une rotation aucun W ne convient (sauf W={0}).

[james_83]

Ok... j'ai fait une grosse erreur de logique élémentaire lol
merci bcq Garnet