Bonsoir,
je bloque sur cet exercice:
Nous allons ici définir le groupe diédral généralcomme groupe d'isométries du polygône régulier à
côtés et montrer comment reconnaître qu'un groupe donné lui est isomorphe.
Soient, et
le polygône régulier convexe à
sommets
inscrit dans le cercle unité, dont on notera
le centre.
On rappelle que les isométries du plan affine forment un groupe et on notele sous-groupe des isométries qui laissent
invariant.
(1) Justifier que le pointest laissé fixe par un élément
de
. Combien y a-t-il de choix pour
? Et pour
, lorsque
est choisi? En déduire que
.
(2) Vérifier que la symétrie orthogonaled'axe
et la rotation
de centre
et d'angle
appartiennent à
.
Démontrer queet en déduire que pour tout
, on a
.
(3) Démontrer que.
(4) Soitun groupe tel que
avec
d'ordre
,
d'ordre 2 et
.
Démontrer que le groupeest entièrement défini par ces données et qu'il est isomorphe à
.
En définitive, un groupedonné est isomorphe à
si et seulement si il existe un système générateur constitué de deux éléments
et
d'ordres
et 2 respectivement vérifiant
.
(5) Démontrer queest isomorphe à un sous-groupe de
. Qu'en est-il pour
?
Bon déjà pour la (1) voilà ce que j'ai fait:
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Après pour la (2), je ne vois pas comment montrer que,
merci pour vos indications.![]()
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