Etude du signe d'une suite

[Arkangelsk]

Bonsoir,

J'ai une suite de terme général :



Je n'arrive pas à prouver que pour tout entier naturel non nul, . En fait, je ne suis pas totalement sûr de la proposition, j'ai conjecturé à partir des premiers termes de la suite.

J'ai essayé :

- D'étudier le signe "directement"
- De prouver que la suite est décroissante et minorée par 0

A chaque fois, les calculs paraissent compliqués et il me semble que quelque chose m'échappe (une majoration ,...?)

Une petite aide ?

Merci d'avance.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

En écrivant que est équivalent à , puis en passant au logarithme, à , on est amené à étudier les variations de la fonction définie par afin de connaître son signe.
Je n'ai pas vérifié si les calculs sur , et éventuellement sur , étaient praticables.

[Arkangelsk]

Bonjour,


Effectivement, se vérifie facilement en passant au logarithme.




On étudie alors les variations de la fonction f définie sur l'intervalle telle que :



f est dérivable sur I et :



soit :



Sous cette forme, on voit que f' est strictement croissante, car composée de deux fonctions strictement croissantes sur .

Donc,

f est donc strictement croissante sur

Donc,

Finalement,



Par conséquent,





Merci pour l'indication, passer au logarithme est très pratique quand on a des exposants.

Ne peut-on pas démontrer le résultat d'une autre manière (calcul direct, majoration, récurrence, etc.) ?

[Médiat]

Si je ne me suis pas planté dans les calculs, on peut ré-écrire cela :

ou encore

Cette dernière inégalité se démontrant facilement, par récurrence par exemple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Arkangelsk]

J'ai tenté de re-démontrer la proposition par récurrence, à partir de la deuxième inégalité donnée par Médiat.





C'est cette dernière inégalité que j'ai essayé de réérire au rang n+1 :



Sauf erreur de ma part, il faut maintenant comparer à et plus précisément prouver que :





ce que je n'arrive pas à démontrer... Y a-t-il plus simple ?

Merci d'avance pour vos suggestions.

[invite57a1e779]

Bonjour,

Donc et est croissante.

[Arkangelsk]

Bonsoir God's Breath,

C'est une autre manière de voir, mais je crois qu'on peut se passer du calcul de la dérivée seconde (pour la 1ère démonstration).

[Médiat]

J'ai tenté de re-démontrer la proposition par récurrence, à partir de la deuxième inégalité donnée par Médiat.





C'est cette dernière inégalité que j'ai essayé de réérire au rang n+1 :

Pour démontrer

,
et il est évident de démontrer par récurrence que pour n>= 2

[Arkangelsk]

Effectivement, c'est beaucoup plus simple comme ça !



On démontre maintenant par récurrence que :



:



C'est OK.
Donc,





Ce qui vérifie :

Merci pour l'indication.