Bonsoir, j'ai un peu de mal pour un exercice et j'aurais aimé avoir de l'aide si possible. Voici l'énoncé:
Étude de la suite de terme général Un = (1+(1/n))^n
1/ A l'aide de la calculatrice, calculez les termes de rang 1, 2, 3, 10, 100, 1000, 10000, de la suite (Un)n appartenant N* définie par : Un = (1+(1/n))^n. Émettez alors une conjecture.
2/ Le but de cette question est de démontrer l'encadrement suivant:
Un <e< ((n+1)/n)Un pour tout entier naturel non nul.
a. Préliminaire: démontrer que ln(1+x) <ou= x en étudiant les variations de la fonction x--> ln(1+x) - x sur ]-1;+inf[.
En utilisant cette inégalité, montrez que pour tout n dans N*: Un<e.
b. Montrer que l'inégalité e< ((n+1)/n)Un équivaut à :
ln(1+(1/n)) > (1/(n+1)).
c. En étudiant les variations de la fonction P définie par P(x) = ln(1+(1/x))-(1/(x+1)) sur [1;+inf[, montrer que pour tout n dans N*: P(n) > 0.
d.Déduisez des questions précédentes l'encadrement de e recherché.
3)a.Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, 0 < e-Un < Un/n.
b. Déterminez L réel strictement positif, indépendant de n, tel que |Un-e| < Lx(1/n) pour tout n dans N*.
c. Concluez en ce qui concerne la convergence de la suite (Un) et sa limite.
J'ai fait la question 1), j'ai calculé la dérivé a la question 2)a. ou j'ai trouvé f'(x) = -x/(1+x), f(x) est donc décroissante sur ]-1;+inf[.
J'ai ensuite du mal à continuer, merci d'avance.
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