exercice spirale harmonique

[invited67fa9cb]

Voici l'exercice:
On considère la spirale harmonique: 1er triangle OA1A2 rectangle tel que OA1=1, puis les autres triangles (OA2A3,OA3A4, OA4A5, OA5A6, OA6A7, OA7A8, etc...) sont rectangles isocèles tels que l'hypoténuse du précédent est un côté de l'angle droit du triangle suivant.
1) Montrer que A1, O, A5 sont alignés.
2) Montrer que la longueur de AA2A3A4A5 est égale à 3(1+racine de 2)

Je pense que pour la 1ère question, j'ai voulu calculer les angles A1OA2, A2OA3, A3OA4 et A4OA5 et faire la somme de ces angles pour trouver l'angle A1OA5 qui vaudrait 180°. Mais je suis bloqué sur l'angle A1OA2 car je ne connais pas la longueur A1A2. J'ai répondu à cette question en me disant A1A2 vau 1 mais on ne le sait pas.
Comment faire?

Quelqun pourrait m'aider?
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[NicoEnac]

Bonjour,

Pas besoin de calcul. Tous les triangles sont isocèles rectangles. Ce qui signifie que les angles OA_nA_n+1 sont égaux à 90° (on exploite ici le fait qu'il soient rectangles) et les angles A_nOA_n+1 et A_nA_n+1O sont égaux à 45° (on exploite le fait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180°, que l'autre angle fait 90° et que le triangle est isocèle).
Ensuite, tu as vu juste en décomposant l'angle A₁OA₅ comme somme de A₁OA₂, A₂OA₃, ..., A₄OA₅.

Pour ce qui concerne la question 2, je te suggère d'utiliser Pythagore ainsi qu'un rapide raisonnement par récurrence.

[invited67fa9cb]

Oui, mais dans l'exercice, on me dit que le 1er triangle est rectangle pas forcément isocèle alors que tous les autres sont isocèles rectangles. Donc pour moi, on ne connaît pas A1A2. Peut-être que je me trompe????

[sammy93]

Salut.
Si le triangle OA1A2 n'est pas isocèle ,l'angle A1OA5 ne peut etre plat car la somme des angles :
A2OA3 +A3OA4 +A4OA5=135° et donc pour faire 180° A1OA2 ne peut qu'etre égal à 45°.
Sauf erreur.

[A voir en vidéo sur Futura]