Probabilité : 6 dés et 3 paires ?

[invite2fa1f49e]

Bonjour à toutes et à tous,

Alors un petit problème de probabilité me rebute depuis quelques temps ! En voici l'énoncé :

On lance 6 dés qu'elle est la probabilité d'obtenir trois paires ?

Je procède de cette manière en me disant que :

1) Je prends 2 dés à qui j'associe à chacun le même nombre parmi les 6 restants
2) Je prends 2 dés parmi les 4 restant à qui j'associe à chacun le même nombre parmi les 5 restants
2) Je prends 2 dés parmi les 2 restant à qui j'associe à chacun le même nombre parmi les 4 restants

Donc sa me donne : C6,1*C6,2*C5,1*C4,2*C4,1*C2,2 / 6^6 = 2160/6^6 = 0,0462 =4,62%

mais la réponse que me donne le cours que j'utilise est de 1800/6^6 = 3,8%

Qui a raison qui a tord ?

Amicalement crocodilus.
-----

[invite4ff70a1c]

Salut.
Je vois le problème comme ça.
J'ai 6 cases puisque on a finalement un nombre de six chiffres.On a donc dans la 1ere case six choix,dans la 2eme un choix,dans la 3eme six,dans la 4eme un,...........Finalement 6x6x6/6^6.Il ne reste plus qu'à les placer
dans le désordre donc déterminer le nombre de cas.
Sauf erreur de ma part.

[pallas]

non Sammy tu peux avoir avec ton choix 111111

[invite2fa1f49e]

Moi je partirais du principe que je dois prendre trois chiffre parmi les 6 ==> C6,3

Et que chacun de ces chiffres doit être attribué à deux 2 dés et c'est la que je bute >.< ! Comment traduire ça mathématiquement ? !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

C(6,3) représente le nombre de triples paires possibles.

Il faut ensuite compter le nombre de possibilités d'arranger aabbcc sur 6 positions.

6x5/2 pour la première paire, 4x3/2 pour la seconde, 2x1/2 pour la dernière.

On peut le voir par listage par ordre alphabétique:

aabbcc
aabcbc
aabccb
aacbbc
aacbcb
aaccbb
ababcc
etc.

[invite2fa1f49e]

6x5/2 pour la première paire, 4x3/2 pour la seconde, 2x1/2 pour la dernière.

Bon effectivement j'obtiens la bonne réponse en faisait C6,3*C6,2*C4,2*C2,2 / 6^6 mais j'ai toujours du mal à comprendre en français >.< !

Pour C6,2 par exemple est ce que cela reviendrait à dire : "c'est le nombre de façon de choisir 2 éléments parmi 6 ?

[Amanuensis]

Pour C6,2 par exemple est ce que cela reviendrait à dire : "c'est le nombre de façon de choisir 2 éléments parmi 6 ?

Oui, c'est bien ça. C'est pour la première paire.

Pour la deuxième, il ne reste que 4 places, d'où "le nombre de façons de choisir 2 éléments parmi 4".

Et pour la troisième, il reste deux places, d'où "le nombre de façons de choisir 2 éléments parmi 2".

[invite2fa1f49e]

Je pense que la pièce vient de tomber !

Mais j'ai une dernière petite question : tout est relié par des multiplications aux numérateurs cela pourrait-il être interprété par le fait qu'on peut les relier par des et ?

[Amanuensis]

Mais j'ai une dernière petite question : tout est relié par des multiplications aux numérateurs cela pourrait-il être interprété par le fait qu'on peut les relier par des et ?

Je ne sais pas trop si cela aide. Peut être dangereux de le penser ainsi. D'ailleurs dans le cas présent c'est plutôt des "et alors".

[invite2fa1f49e]

Si j'ai posé cette question c'est parce que sa me fait penser à la probabilité conditionnelle d'évènements indépendants.

Et puis aussi parce que j'aurais tendance naturellement à mettre de signe d'addition et que je ne comprends pas toujours pour quoi on multiplie les choix entre au lieu de les additionner entre eux >.< ? !

[Amanuensis]

Si j'ai posé cette question c'est parce que sa me fait penser à la probabilité conditionnelle d'évènements indépendants.

Déjà, l'exercice n'est pas vraiment un exercice de probabilité, c'est juste du dénombrement. Les raisonnements sous-jacents sont ensemblistes, sur les cardinaux. Le cardinal d'une union disjointe est bien la somme des cardinaux, et le cardinal d'un produit cartésien (ce qui peut correspondre à "événements indépendants" est bien le produit des cardinaux.

pour quoi on multiplie les choix entre au lieu de les additionner entre eux >.< ? !

En fait on additionne ! Le nombre de façon d'arranger 3 paires est 15x6=90, et on l'a une fois pour les paires 1,2,3 + une fois pour les paires 1,2,4 + une fois pour les paires 1,2,5 + , etc. Comme il y a 20 possibilités des valeurs des paires cela revient à additionner 90 20 fois, ce qui est la multiplication 90x20. On ne peut pas voir cela comme un produit lié à des événements indépendants, c'est une "somme déguisée".

On pourrait le voir comme des variables indépendantes, une pour la position des paires, l'autre pour la valeur, c'est vrai. Mais je ne suis pas sûr que cela aide en général.

[invite2fa1f49e]

Merci pour ta réponse précise !

[zyket]

Bonjour,

personnellement je trouve une proba d'avoir 3 paires avec 6 dés de :

Où me suis-je trompé dans le raisonnement que voici ?

Le nombre de résultats possibles avec 6 dés est de (6 résultats possibles pour le premier dé ; 6 résultats

possible pour le deuxième dé ; etc ... 6 résultats possibles pour le sixième dé)

Parmi ces résultats combien comportent trois paires avec des n° différents ?
Il y aura les trois paires comportant les n° {1;2;3}, les trois paires comportant les n° {1;2;4},{1;2;5},{1;2;6},puis

{1;3;4},{1;3;5},{1;3;6},puis {2;3;4},{2;3;5},{2;3;6} et encore {3;4;5};{3;4;6} et enfin {4;5;6}.

D'où 4+3+2+1=10 triplets de n° différents

Pour chacun de ces triplets combien de résultats différents possibles avec les 6 dés ?
Par exemple pour le triplet {1;2;3} on peut commencer à lister les résultats :
(1;1;le 2 ou le 3; le 2 ou le 3; le 2 ou le 3; le 2 ou le 3)
(1; le 2 ou le 3;1;le 2 ou le 3; le 2 ou le 3; le 2 ou le 3)
(1; le 2 ou le 3; le 2 ou le 3;1;le 2 ou le 3; le 2 ou le 3)
(1; le 2 ou le 3; le 2 ou le 3; le 2 ou le 3;1;le 2 ou le 3)
(1; le 2 ou le 3; le 2 ou le 3; le 2 ou le 3;le 2 ou le 3;1)

D'où 5 groupes de résultats dont le premier dé porte le n°1


Ensuite on peut lister les résultats dont le deuxième dé est le n°1 (et dont le premier dé ne porte pas le n°1, puisqu'ils ont déjà été comptabilisés)
(le 2 ou le 3;1;1;le 2 ou le 3; le 2 ou le 3; le 2 ou le 3)
(le 2 ou le 3;1; le 2 ou le 3;1;le 2 ou le 3; le 2 ou le 3)
(le 2 ou le 3;1; le 2 ou le 3; le 2 ou le 3;1;le 2 ou le 3)
(le 2 ou le 3;1; le 2 ou le 3; le 2 ou le 3;le 2 ou le 3;1)

D'où 4 groupes de résultats dont le deuxième dé porte le n°1

Et ainsi de suite...

On voit qu'il existe donc 5+4+3+2+1=15 façons de placer la paire de n°1 parmi les six dés.

De même on aura 3+2+1=6 façons de placer la paire de n°2 parmi les quatre dés restants.

Et 1 façon de placer la paire de n°3 parmi les deux dés restants.

Ce qui nous fait 15x6x1=90 résultats différents possibles avec les 6 dés pour chacun des triplets de n° différents.

Comme on a 10 triplets de n° différents on a donc 10x90=900 résultats comportant trois paires avec des n° différents.


Parmi les résultats combien comportent trois paires avec des n° identiques ?
Il y a le résultat (1;1;1;1;1;1), le résultat (2;2;2;2;2;2) etc... et le résultat (6;6;6;6;6;6). D'où 6 résultats différents.



Parmi les résultats combien comportent trois paires dont deux et seulement deux paires sont identiques ?
Par exemple dans le résultat (1;2;1;2;1;1) il y a deux fois la paire {1;1}

Parmi les résultats comportant deux fois la paire {1;1}, il y a 3+2+1=6 façons de placer la paire de n°2 parmi les quatre dés restants.
D'où parmi les résultats comportant deux fois la paire {1;1} comme il existe 5 autres paires, il y a 6x5=30 résultats.

Comme il existe 6 groupes de résultats comportant deux fois la même paire, il existe 6x30=180 résultats avec deux paires identiques

Conclusion : il existe 900+6+180=1086 résultats comportant trois paires.

D'où la proba d'avoir 3 paires en lançant 6 dés est de : 1086/6^6=0,0232....

[Amanuensis]

Manque {1,4,6} par exemple...

Par ailleurs, il est d'usage dans les jeux de distinguer 3 paires et (1 carré + paire).

[zyket]

Hé! Hé! C'est sûr qu'en faisant pas à pas j'allais en oublier. Mais d'un autre côté je n'arrive pas à voir avec les raisonnements généraux comment être sûr de ne pas compter deux fois le même résultat.

Je trouve 20 triplets de paires avec des chiffres différents

Ce qui donne (si mes autres raisonnements sont exacts) 20x90=1800 résultats avec des paires dont les n° sont différents

D'où une proba d'avoir 3 paires en lançant 3 dés de : (1800+6+180)/6^6=1986/6^6=0,0425...

[Amanuensis]

Je trouve 20 triplets de paires avec des chiffres différents

Oui, 3 parmi 6, C(6,3) = 6x5x4/6 = 20

Ce qui donne (si mes autres raisonnements sont exacts) 20x90=1800 résultats avec des paires dont les n° sont différents

Oui, et c'est ce qui correspond à l'énoncé (les cas carré + paire, et autres, ne sont pas à compter).
D'où une proba d'avoir 3 paires en lançant 3 dés de : (1800+6+180)/6^6=1986/6^6=0,0425...[/QUOTE]

[zyket]

Merci beaucoup

[invite2fa1f49e]

Le problème c'est quand prenant compte des possibilités telle que {1,2,1,2,1,2} ou {1,1,1,1,1,1} ce n'est plus trois paires distinctes.
Dans le premier cas tu as bien trois paires mais aussi 2 brelans !

Je vois que Amanuensis en a déjà parlé !

[zyket]

Juste pour pinailler :

On lance 6 dés qu'elle est la probabilité d'obtenir trois paires ?

Nul part dans cet énoncé il n'est question de paires distinctes.

[Amanuensis]

Nul part dans cet énoncé il n'est question de paires distinctes.

Comme souvent, il y a des traditions, des habitudes, qui permettent de résoudre des ambigüités d'énoncé...