DM seconde "trajet minimal"

[invite8e554096]

Bonsoir! Je suis en seconde et j'ai un petit problème de dm: j'ai besoin d'aide!
Voici l'énoncé:
Pour rejoindre 2 villes A et B séparées par une rivière aux bords parallèles, large de 40m, on cherche à construire une route avec les contraintes suivantes:
-le pont doit être le plus court possible
-pour cette largeur de pont, la route doit être la plus courte possible

Conjecturer la position du pont.
Démontrer cette conjecture


B
______________________________ _

rivière
______________________________ _

A

Voilà, merci pour vos réponses.
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[gg0]

Bonsoir.

lire http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html

[invite8e554096]

Je ne veux pas les réponses mais seulement une indication me permettant de savoir où diriger mon raisonnement. Puis, j'ai déjà longuement réfléchis: la seule chose que j'ai déduite est le fait que le pont devra être perpendiculaire aux rives pour être le plus court possible.
Mais voilà le problème, je suis bloquée! Peut-être une question de vecteurs, par rapport à la largeur de la rive...

[danyvio]

Un pont "normal" est(à ma connaissance du moins) toujours perpendiculaire aux rives, du moins si ces dernières sont parallèles... et dans ton cas c'est évident. Je fais remarquer par ailleurs que ton dessin est LE cas particulier, où A et B sont disposés symétriquement par rapport au milieu de la rivière. Je suppose que dans ton énoncé initial il n'en est pas ainsi, sinon ce serait trop facile , il suffirait de joindre A et B par un segment.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8e554096]

riviere.png
le dessin est plutôt comme ça, avec B opposé à A. Dans une question précédente, on devait expliquer l'erreur d'un élève ayant tracé un segment entre A et B.
Son erreur était donc d'avoir fait un pont trop long, non perpendiculaire au rives.
Puis dans l'énoncé on nous parle d'un second élève qui aurait écrit:
" Etant donné que le pont doit être le plus court possible, il faut le construire perpendiculairement aux deux rives. Pour minimiser la distance, il suffit alors de le construire au milieu des 2 rives" avec ce schéma
rivier.png
L'énoncé nous demande alors de prouver que cette proposition est erronée, de conjecturer la position du pont et de démontrer cette conjecture.
Comprenez-vous à présent pourquoi j'ai besoin d'aide?

[gg0]

Réfléchis un peu : Si la rivière a une largeur nulle, quel est le meilleur chemin ? Et comme le pont est perpendiculaire à la rivière, il introduit simplement une translation du chemin.

Maintenant, pour la démonstration, tout dépend des outils que tu dois employer. Et il ne te reste qu'à mettre en oeuvre avec ces outils, ta démonstration.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Le trajet sur le pont est commun à toutes les solutions, on peut donc répondre à la question en minimisant le trajet sur terre, ce sera bien le trajet minimum du trajet complet.

Comment, sur un (autre) dessin, pourriez-vous traduire l'hypothèse : "je ne tiens pas compte du trajet sur le pont" ?

[EDIT] trop tard

[invite8e554096]

On obtiendrait donc ce dessin?
Mais comment démontrer cette hypothèse?

[invite8e554096]

Vecteurs, fonctions, on ne peut pas les utiliser dans ce cas.
Peut-être de la trigonométrie avec le triangle rectangle qui s'est formé, la seule donnée disponible est la largeur de la rivière, 40m...
Est-ce possible?

[Médiat]

On obtiendrait donc ce dessin?

Non, pas vraiment. Comment traduire sur le dessin que vous supprimez le pont (et la rivière) de votre raisonnement ?

[invite8e554096]

riviere.png
FB est le chemin le plus court pour atteindre B de la rive. FEvecteur+FBvecteur= FBvecteur
Donc AFEB est la route à suivre.
Ce raisonnement est-il correct?

[danyvio]

Perso, je marquerais B' plus proche de la rivière par translation de 40 m, je tracerais AB', et construirais le pont comme ci dessous :

[invite8e554096]

La pièce jointe n'est pas valide...

[invite8e554096]

En fait, je ne comprends pas le but de cette manœuvre ???

[piwi]

Que l'on me corrige si je me trompe, mais l'on doit pouvoir faire quelque chose en modélisant l'énoncé dans un repère orthonormé et en utilisant le théorème de Pythagore pour mettre en équation la distance parcourue et voir quand elle est minimale?
Je n'ai pas essayé, mais j'ai l'intuition que l'on doit pouvoir faire quelque chose dans cette direction.

Cordialement,
piwi

[Médiat]

Oui bien sur on peut faire ainsi, mais la solution proposée par danyvio et qui est presque (*) celle que j'avais en tête, donne la solution plus rapidement.

(*) presque car l'idée que j'avais était "d'identifier" les deux rives de la rivière (avec une feuille de papier il suffit de plier la feuille en deux endroits pour placer l'une des rives sur l'autre), le résultat est évidemment le même que celui de danyvio.
C'est aussi l'idée de gg0, avec un raisonnement mathématique intéressant : puisque le chemin sur terre ne dépend pas de la largeur de la rivière, il suffit de choisir une largeur qui simplifie les choses, ici c'est 0.

[danyvio]

: puisque le chemin sur terre ne dépend pas de la largeur de la rivière, il suffit de choisir une largeur qui simplifie les choses, ici c'est 0.

Je n'en suis pas convaincu. Si "ma" méthode est bonne, ce n'est pas vrai : Si la largeur de la rivière est nulle, le trajet est évidemment AB.
Sinon le trajet en ligne brisée est bien différent (j'ai mesuré !), y compris la partie en dehors du pont. Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Je reste persuadé que nos solutions sont identiques, en disant que j'identifiais les deux rives, je ne voulais pas dire que l'on asséchait la rivière, mais que l'on rapprochait les rives comme dans le dessin suivant, avec le chemin le plus court qui est bien la ligne droite.

[danyvio]

Là je suis d'accord, puisqu'en éloignant par translation les deux rives on trouve bien mon shéma. Si j'ai le temps, je m'attellerai à une version plus algébrico-géométrique, en calculant la trajectoire terrestre en fonction d'un point x d'une rive, et variant entre la projection de A et la projection de B sur la même rive. Pythagore à moi

[Médiat]

Et pas de problème : on trouve bien la même chose !

[Plume d'Oeuf]

Bonjour.

Là je suis d'accord, puisqu'en éloignant par translation les deux rives on trouve bien mon shéma. Si j'ai le temps, je m'attellerai à une version plus algébrico-géométrique, en calculant la trajectoire terrestre en fonction d'un point x d'une rive, et variant entre la projection de A et la projection de B sur la même rive. Pythagore à moi

J'ai fait ça hier soir; ça se fait bien et il reste une expression simple dépendant des coordonnées de A et B. Cependant sans celles-ci, on est bien obligé de procéder géométriquement comme vous l'avez fait.

[invite8e554096]

Excusez-moi mais je me suis totalement perdue dans vos réponses!
Si on avance B par translation, pourquoi ne pas faire "reculer" A par la même méthode et alors trouver l'emplacement du pont qui correspond au point d'intersection de (A'B')avec la rive?

[piwi]

Je me suis amusé à faire le calcul et je trouve que le trajet minimal est obtenu en plaçant le pont au milieu de la longueur du bras de rivière séparant les deux villes. Je ne suis pas tout à fait certain de mon calcul (fait en mangeant entre deux dissections), mais les représentations graphiques semblent me donner raison.

Cordialement,
piwi

[Médiat]

Bonjour,

Non, ce n'est pas exact et non conforme aux graphiques.

En voyant les calculs, nous pourront peut-être trouver l'erreur ...

[Plume d'Oeuf]

Bah c'est exact seulement si A et B sont équidistants de la rivière, et ça se vérifie analytiquement.

[Plume d'Oeuf]

En positionnant l'origine du repère sur A(0;0), et en appelant P(x;y_P) la position du bord inférieur du pont, L la largeur de la rivière et B(x_B;y_B) la position de B, j'obtiens deux solutions pour la position du pont:

ou

La première solution est trop restrictive, il reste donc .

Si A et B sont équidistants de la rivière, alors et .

[piwi]

Pièce jointe 182697

Voilà l'idée (voir dessin)

c²=a²+x²
d²=b²+(e-x)²

Du coup, c²+d²=a²+x² + b²+(e-x)²
On cherche à avoir pour quelle valeur de x c + d est minimal. L'erreur arrive peut être ici, j'ai supposé que puisque c et d sont supérieurs ou égaux à 0 alors c²+d² est minimal quand c+d est minimal.
Partant de ce présupposé j'ai simplement cherché quand la dérivée de la fonction au dessus s'annule pour trouver le minima de ma fonction.
f(x) = a²+x²+b²+e²-2ex+x² (a, b, et e sont des constantes)
f'(x) = 4x-2e
f'(x) = 0 pour x=1/2e

Du coup c²+d² est minimal quand x=1/2e, et par suite (probablement faux) c+d est minimal quand x=1/2e

Cordialement,
piwi

[Médiat]

L'erreur arrive peut être ici, j'ai supposé que puisque c et d sont supérieurs ou égaux à 0 alors c²+d² est minimal quand c+d est minimal.

Exact !
C'est bien là qu'est l'erreur.

[Plume d'Oeuf]

Si tu calcules la dérivée de c+d, tu te rends compte qu'elle n'est pas nulle pour la même valeur de x que la dérivée de c²+d²

[piwi]

damn it!!
Je le sentais bien; mais calculer la dérivée de c+d et en trouver le minimum en mangeant un sandwich ne me disait trop rien. Mais en même temps, Plume d'Oeuf l'a fait et j'imagine que la réponse est ce qui est présenté au dessus de mon message ^_^

piwi