Bonjour,
Je souhaite que chacun puisse apporter ce qu'il sait sur la factorisation des nombres semi-premiers.
Nous allons prendre un nombre semi-premier p tel que p > 4 et p = m * n
avec 2 < m < n
On sait que pour tout p on peut écrire que m < sqrt(p) < n
On peut remarquer également que le rapport m/n peut prendre 3 cas :
m/n < 0.5
m/n = 0.5
m/n > 0.5
Mais pourrait-on mieux borner ces 2 facteurs m et n .........?
Bonjour,
Autrement dit n = 2m, c'est à dire que n serait un nombre premier pair strictement plus grand que 2 ...Envoyé par Guimzo
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
Le rapport m/n = 0.5 a été mentionné simplement pour rappeler que dans tous les cas la valeur du rapport m/n entre 2 nombres réels
tel que 0 < m < n ne peut prendre que 3 possibilités et pas 4 ou 5 ou 6....
Le cas m/n = 0.5 vu que nous travaillons avec des nombres semi-premiers est bien évidemment à exclure ...
En tout cas merci pour cette fantastique remarque ... il n'existerait donc pas de nombres premiers pairs....(??!)
A part ça qu'avez-vous d'autres à nous dire.....?
Bonjour,
Je souhaite apporter une petite précision sur le corps du sujet.
Le cas m/n = 0.5 est simplement mentionné pour dire que de façon exhaustive le rapport de 2 nombres réels a/b tel que 0 < a < b
peut être considéré que sous 3 angles :
Ou bien ce rapport
a/b < 0.5
a/b = 0.5
a/b > 0.5
C'est donc en général les 3 possibilités.
Mais bien évidemment nous travaillons avec des nombres premiers m et n donc vous comprendrez par vous-mêmes que le cas m/n = 0.5 ne nous concerne pas.
Merci.
Bonjour,
Pour tout nombre semi-premier p tel que p = m * n avec 2 < m < n
Alors nous pouvons dire que le rapport m/n est soit supérieur à 0.5 ou soit inférieur à 0.5
Si m/n > 0.5
Alors sqrt(p)/sqrt(2) < m < sqrt(p) et sqrt(p) < n < sqrt(p) * sqrt(2)
Si m/n < 0.5
Alors sqrt(p)/sqrt(2) > m < sqrt(p) et sqrt(p) < n > sqrt(p) * sqrt(2)
Ce systéme d'encadrement est donc utile dans la recherche des facteurs m et n d'un nombre semi-premier donné avec 2 < m < n
Je ne vois pas en quoi c'est utile à la recherche des facteurs m et n d'un nombre semi premier, puisqu'il te faut les facteurs pour avoir le rapport m/n ^^
(si ce n'est qu'il y a beaucoup plus de nombres semi premiers pour lesquels m/n < 0.5, un peu plus de 95% des nombres semi-premiers inférieurs à 200000 par exemple)
Que peux tu en effet dire de 16123 et 16129 ? Ce sont deux nombres semi premiers très proches, mais au rapport m/n très différents
Mouais mais ça n'apporte rien, puisque cela est vrai quelque soient m et n, le fait que m/n soit "soit supérieur à 0.5 ou soit inférieur à 0.5" n'est pas une caractéristique de la décomposition d'un nombre semi-premier.
On peut également dire que le rapport m/n est "soit supérieur à 0.1 soit inférieur à 0.1", ou encore "soit supérieur à 0.9856 soit inférieur à 0.9856", ou encore ....
bref ça n'apporte rien.
Bonjour Tryss,
Ton commentaire est très juste.
L'encadrement proposé peut surtout être utile en cryptologie car 99% des facteurs m et n des nombres semi-premiers RSA ont un rapport m/n > 0.5.
Pour ton exemple 16123 :
Soit les facteurs m et n de 16123 ont un rapport m/n > 0.5 ou soit m/n < 0.5.
Si m/n > 0.5
Alors on peut écrire que sqrt(16123)/sqrt(2) < m < sqrt(16123)
c'est à dire 89.79 < m < 126.98
Donc si m/n > 0.5
On voit que le plus petit des facteurs m de 16123 serait un nombre premier compris entre 90 et 126
Il ne nous reste plus qu'à tester chacun des nombres premiers entre 90 et 126 .
Or entre 90 et 126 il y à 126-90 = 36 Nombres
Et parmi ces 36 nombres la moitié des nombres pairs sont à exclure donc il ne nous reste que 16 nombres en tout
Et sur ces 16 nombres il ne faut tester que ceux qui sont premiers donc { 97 ; 101 ; 103 ; 107 ; 109 ; 113 }
Donc 6 possibilités on fait le test si p/m = nombre entier alors CQFD.
16123 / 97 » 166.216
16123 / 101 » 159.63
16123 / 103 » 156.53
16123 / 107 » 150.68
16123 / 109 » 147.9
16123 / 113 » 142.68
Aucune des possibilités n'est satisfaisante donc on peut dire que pour p = 16123 le rapport m/n < 0.5
On peut donc écrire de façon définitive :
sqrt(16123)/sqrt(2) > m < sqrt(16123) et sqrt(16123) < n > sqrt(16123)*sqrt(2)
c'est à dire 89.79 > m < 126.976 et 126.976 < n > 179.57
Donc les nombres à tester sont les nombres premiers entre 3 et 89
Entre 3 et 89 il y à 89-3 = 86 nombres
Nous excluons la moitié de 86 qui sont des nombres pairs il reste 43 nombres
Sur ces 43 nous utilisons que ceux qui sont premiers : { 3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37; 41;43;47;53;59;61;67;71;73;79; 83;89 }
Nous effectuons le test et si p/m = nombre entier CQFD
16123 / 3 » 5374.33
16123 / 5 = 3224.6
16123 / 7 » 2303.2857
16123 / 11 » 1465.727
16123 / 13 » 1240.23
16123 / 17 » 948.41
16123 / 19 » 848.5789
16123 / 23 = 701 CQFD
Donc pour p = 1623 on peut dire que les 2 facteurs premiers m et n ont un rapport m/n < 0.5 et m = 23 et n = 701
( En 14 divisions )
De façon générale il est plus rapide de trouver les facteurs quand m/n > 0.5
Ceci dit dans tous les cas c'est toujours plus rapide que si on devait se baser sur l'encadrement classique
m < sqrt(p) < n
Dernière modification par Guimzo ; 13/07/2012 à 20h22.
Bonjour Erik,
D'un certain point de vue géométrique le produit de 2 nombres réels entres eux tel que c = a * b avec 0 < a < b renvoie à l'aire d'un rectangle.
Et le rapport de a/b nous renvoie au format de ce rectangle tel que a/b appartient à l'intervalle ]0 ; 1[ en ayant un moyen terme 0.5 c'est à dire
le cas où b = 2 * a
Donc parler de a/b < ou > 0.11 ou 0.76 ou etc n'est pas vraiment significatif.
Oui, c'est normal, puisqu'on les produit en multipliant deux grands nombres premiers.L'encadrement proposé peut surtout être utile en cryptologie car 99% des facteurs m et n des nombres semi-premiers RSA ont un rapport m/n > 0.5.
Mais en quoi c'est plus rapide ? Ici tu as testé 15 nombres premiers... sur les 30 compris entre 1 et 126 (donc le même résultat en moyenne que si tu avais testé les nombres de façon aléatoires)
Bonjour Tryss,
C'est pas le fait que les nombres soient grands qui fait que le rapport m/n soit > 0.5
C'est simplement parce que les nombres sont proches l'un de l'autre.
De façon aléatoire bien entendu on peut tout faire et rien faire. C'est à dire tu peux avoir bon du 1 er coup mais tu peux aussi ne pas avoir bon jusqu'à la dernière division.
Mais dans tous les cas même si tu utilises un systéme de division aléatoire trouves-tu pareil que
le nombre de possibilités qu'il y à entre 3 et sqrt(p)
est pareil qu'entre sqrt(p)/sqrt(2) et sqrt(p)....................... ............??
Car dans l'un tu as 1 chance sur sqrt(p)-3
Et dans l'autre cas 1 chance sur sqrt(p) - sqrt(p)/sqrt(2)
Donc réduire le champ des possibilités et disqualifier certains nombres me semble être effectivement un gain.
Donc si je te donne ce nombre semi premier : 4053492208559Donc réduire le champ des possibilités et disqualifier certains nombres me semble être effectivement un gain.
Quels nombres peux tu "disqualifier"?
Au passage, si tu ne fais que diviser par 4 le nombre de nombres à tester, ça n'est franchement pas intéressant. Ce qui a de l'intérêt, c'est modifier la complexité des algorithmes.
Bonsoir Tryss,
Merci pour ta participation active à ce sujet.
Prenons donc ton exemple p = 4053492208559
Alors soit m/n < 0.5 ou soit m/n > 0.5
Si m/n > 0.5
On peut écrire que sqrt(4053492208559)/sqrt(2) < m < sqrt(4053492208559)
c'est à dire 1423638.33 < m < 2013328.6
Donc on aurait disqualifié tous les nombres premiers < 1 423 638
On fait le test si entre 1423638 et 2013328 aucun nombre premier ne divise 4053492208559 pour donner un nombre entier alors on serait obligé de conclure
que m/n < 0.5 et par conséquent que m < sqrt(4053492208559)/sqrt(2)
Comme tu avais déjà remarqué cela aurait été plus conséquent de connaître des le départ si le rapport m/n est inférieur ou supérieur à 0.5.
Mais comme il a été aussi précisé c'est qu'en cryptologie le rapport m/n des facteurs des nombres RSA est à 99% des cas toujours > 0.5
c'est à dire que les facteurs m et n choisis sont des nombres relativement proches l'un de l'autre.
Si tu prends par exemple le nombre
p = 152260502792253336053561837813 263742971806811496138068865790 849458012296325895289765400035 0692006139
Au lieu de chercher théoriquement m entre 3 et sqrt(p)
c'est à dire entre 3 et 390205718554012655122895733394 84371018905006900194
On recherche m entre sqrt(p)/sqrt(2) et sqrt(p)
c'est à dire entre
275917109647311774000517644860 75171268134878430692 et 390205718554012655122895733394 84371018905006900194
Donc on a disqualifié tous les nombres premiers entre 3 et 275917109647311774000517644860 75171268134878430692
Tu trouves pas que c'est beaucoup.............??
Pour les algorithmes justement il s'agit de pouvoir mieux encadrer les possibles candidats qui pourraient être facteurs de p.
Puisqu’à partir du moment où tu réduis l'ensemble qui renferme le nombre de possibilités cela veut dire que tu as moins de nombres à tester.
L'idéal serait de réduire cet ensemble à 1 élément mais pour l'instant il ne me semble pas que l'on ait trouvé cet algorithme.
Ceci dit avec ton exemple cela montre qu'il faudrait pouvoir déterminer avant toutes choses si oui ou non le rapport m/n est inférieur ou supérieur à 0.5...
Dans le cadre des nombres semi-premiers 0.5 est une limite asymptotique pour m/n puisque comme vous aviez déjà fait la remarque si m/n pouvait prendre la valeur 0.5 cela supposerait que n = 2 * m et donc n serait divisible par 2 donc non premier.
C'est pour cela donc que nous disons que dans tous les cas m/n est soit < 0.5 ou soit > 0.5
ayant donc comme intervalle de définition ]0 ; 0.5[ U ]0.5 ; 1[
Mais à partir de quand m/n > 0.5 et < 0.5.......??
On pourrait dire que m/n > 0.5
si 2 * m > n
si donc 2 * m > p/m
si donc 2 m^2 > p
Mais cela aboutit à une impasse puisqu'il faudrait connaître m.
Mais peut-être qu'il existe une façon de faire ....??
Autrement Tryss, comment procèderais-tu si tu devais trouver les 2 facteurs d'un nombre semi-premier donné......??
Prenons ton exemple p = 4053492208559
et cet autre exemple d'un nombre (RSA)
p = 152260502792253336053561837813 263742971806811496138068865790 849458012296325895289765400035 0692006139
Comment t-y prendrais tu.......??
Bonjour,
L'intervalle de définition de m/n est ]0 ; 0.5[ U ]0.5 ; 1[
Donc soit m/n > 0.5
ou soit m/n < 0.5
On peut voir que le rapport de l'aire du rectangle* sur p est un rapport constant
r = [ 3 / sqrt(2) ] - 2 = 0.12132034355964
*Cf graphiques joints.
Dernière modification par Guimzo ; 16/07/2012 à 15h06.
Ça n'est pas beaucoup, car pas suffisant, tu ne fais que diviser le nombre de nombres premiers à tester par une constante, qui de plus n'est pas très grande.Tu trouves pas que c'est beaucoup.............??
Si pour annuler ta proposition, il suffit d'allonger les nombres premiers d'un ou deux bits, elle est inefficace.
On considère que la puissance de calcul double tout les 18 mois, c'est à dire qu'au mieux on est en avance de 3 ans sur l’évolution du hardware (ie, factoriser avec du matériel de 2012 les nombres RSA de 2009).
Un truc de base en algorithmique : la multiplication ou division par une constante ne modifie pas la complexité de l'algorithme, ça n'a donc aucun intérêt théorique
Bonjour Tryss,
Que la puissance des calculateurs augmente ou pas, toujours est-il que pour tout p tel que p = m*n avec 2 < m < n et m et n nombres premiers alors nous pourrons écrire que l’intervalle de définition du rapport m/n est ]0 ; 0.5[ U ]0.5 ; 1[
Et que
Si m/n > 0.5
Alors sqrt(p)/sqrt(2) < m < sqrt(p) et sqrt(p) < n < sqrt(p) * sqrt(2)
Et que
Si m/n < 0.5
Alors sqrt(p)/sqrt(2) > m < sqrt(p) et sqrt(p) < n > sqrt(p) * sqrt(2)
C'est une propriété très simple que certains auront vite fait de critiquer, mais cela reste une propriété des nombres semi-premiers qu'ils soient de 2 décimales ou de milliards de décimales...
Après il y à sans doute encore à mieux faire mais il me semble que ce peu qui pourrait être un début n'est peut-être pas si mal que ça.
Si on te dit qu'il y à une patate d'or parmi un tas de 1000 patates
Et que de même il y à une patate d'or dans un tas de 10 patates
Alors à ton avis où tu as le plus de chance de trouver rapidement la patate en or............??
Cela montre que la notion d'ensemble est aussi importante pour ce qui est des algorithmes
ainsi plus un algorithme te permet d'arriver en moins d'étapes possibles au résultat souhaité,donc dans un temps de plus en plus court
plus il est performant.
Par rapport à l'interprétation géométrique du probléme, qui côtoient les notions de quadrature ( rectangle, cercle... )
l'idée est donc de voir si oui ou non il y à une correspondance significative entre certaines aires des différentes figures et de certaines intégrales.....(??)
Pour infos les figures du graphe mis en pièce-jointe sont :
- le rectangle que l'on cherche à trouver la Longueur n et la largeur m en ne connaissant que son Aire p ( produit de 2 nombres premiers )
- un carré de côté sqrt(p)
- un autre carré sqrt(p) * sqrt(2)
- un autre carré sqrt(p) / sqrt(2)
- la fonction f(x) = p/x
Et après tout ce qui peut aider...
Comme tu pourras aussi voir Tryss, on pourrait se dire que le nombre p correspondrait à un cercle de rayon R = sqrt ( p / Pi )
et si tu fais les calculs par rapport à certaines correspondances tu verras que dans certains cas on pourrait encore mieux approcher m et n tel que :
m = à peu près (sqrt(p)*sqrt(pi))/(2(pi-2))
Mais bien entendu l'idéal c'est de trouver la valeur réelle de m
ou une approximation à des virgules près pour les 2 cas m/n > 0.5 et m/n < 0.5
En tout il y à des possibilités et peut-être qu'il existe un meilleur encadrement que cet encadrement coutumier
m < sqrt(p) < n
Dernière modification par Guimzo ; 17/07/2012 à 00h59.
Le problème c'est que vous truquez, en fait vous avez un tas de 1000 patates et un tas de 10 patates, et vous ne savez pas dans quel tas se trouve la patate d'or, donc, que vous commenciez par le tas de 10 ou le tas de 1000, le résultat est le même (sous condition d'équiprobabilité).
Le trucage arrive quand vous comparez les algorithmes usuels avec le votre auquel vous adjoignez l'information "En fait l'or est dans le tas de 10" (autrement dit vous cassez la condition d'équiprobabilité), mais1) Vous ne savez pas vraiment dans quel tas est l'orSi vous considérez l'algorithme basique qui consiste à tester la divisibilité par les nombres premiers de 2 à
2) Vous ne donnez pas cette information aux autres algorithmes, en précisant que m et n sont proches l'un de l'autre, il suffit de tester la divisibilité de
Ce que vous n'avez pas démontré, pour le votre !
Dernière modification par Médiat ; 17/07/2012 à 04h36.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Le problème c'est que vous truquez, en fait vous avez un tas de 1000 patates et un tas de 10 patates, et vous ne savez pas dans quel tas se trouve la patate d'or, donc, que vous commenciez par le tas de 10 ou le tas de 1000, le résultat est le même (sous condition d'équiprobabilité).
Le trucage arrive quand vous comparez les algorithmes usuels avec le votre auquel vous adjoignez l'information "En fait l'or est dans le tas de 10" (autrement dit vous cassez la condition d'équiprobabilité), mais1) Vous ne savez pas vraiment dans quel tas est l'orSi vous considérez l'algorithme basique qui consiste à tester la divisibilité par les nombres premiers de 2 à
2) Vous ne donnez pas cette information aux autres algorithmes
Ce que vous n'avez pas démontré, pour le votre !
Bonjour Media,
Votre raisonnement est très juste.
Soit dit en passant avec l'exemple c'était pour montrer l'importance de la notion d'ensemble.
Effectivement à la base quand il s'agit de trouver les 2 facteurs premiers m et n d'un nombre p tel que 2 < m < n
on ne sait pas au départ si le rapport m/n est < 0.5 ou > 0.5.
C'est pour cela qu'il avait bien été précisé qu'en ce qui concerne les nombres semi-premiers RSA par contre
on peut voir que dans 99% des cas le rapport m/n est > 0.5.
Et puis bien entendu l'encadrement proposé comme il a été dit est une propriété très simple, mais cela reste une propriété des nombres semi-premiers qu'ils soient de 2 décimales ou de milliards de décimales...
Après on pourrait se poser une question tout aussi simple mais essentielle :
N'y aurait-il pas mieux pour encadrer les 2 facteurs premiers m et n d'un nombre donné p que de se contenter de dire que
m < sqrt(p) < n
Dernière modification par Guimzo ; 17/07/2012 à 19h12.
On peut toujours se poser des questions ...
la difficulté c'est d'y répondre
Bonjour Tryss,
Pourrais-tu me dire s'il te plaît si la formulation est juste surtout pour les nombres réels, après j'essaierais de formaliser tout ça
avec un langage plus "mathématique".....
Factorisation en 2 facteurs
et nombre semi-premier.
Pour tout Nombre Réel p différent de 0 tel que p = | m * n | avec |m| < |n|
Alors le rapport
|m|/|n| est
soit égale à 0.5
soit |m|/|n| < 0.5
soit |m|/|n| > 0.5
Si |m|/|n| = 0.5 alors |m| = sqrt(p) * sqrt(2)
Si |m|/|n| > 0.5 alors il existe au moins un couple de nombres réels m et n facteurs de p
tel que
sqrt(p) / sqrt(2) < |m| < sqrt(p) <|n| < sqrt(p)*sqrt(2)
Si |m|/|n| < 0.5 alors il existe au moins un couple de nombres rééls m et n facteurs de p
tel que
|m| < sqrt(p)/sqrt(2) et |n| > sqrt(p) * sqrt(2)
Pour tout nombre semi-premier p tel que p = m * n avec 2 < m < n alors l’intervalle de définition du rapport m/n est ]0 ; 0.5[ U ]0.5 ; 1[
Si m/n > 0.5
Alors sqrt(p)/sqrt(2) < m < sqrt(p) < n < sqrt(p) * sqrt(2)
Et
Si m/n < 0.5
Alors m < sqrt(p)/sqrt(2) et n > sqrt(p) * sqrt(2)
Réciproquement pour un nombre semi-premier p tel que p = m * n avec 2 < m < n
Si sqrt(p)/sqrt(2) < m < sqrt(p) ou sqrt(p) < n < sqrt(p) * sqrt(2)
Alors m/n > 0.5
Et si m < sqrt(p)/sqrt(2) ou n > sqrt(p) * sqrt(2)
Alors m/n < 0.5
Bonsoir,
1) Si p est un réel, c'est quoi un facteur de p ?
2) Comprenez-vous que quantifier des variables préalablement utilisées est une faute logique ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour Media,
Merci pour cette remarque constructive.
Le terme "facteur" est donc utilisé à mauvais escient....??
En fait je veux dire multiplicateur.
Mais peut-etre est-il plus correcte de juste mettre deux réels m et n
Dernière modification par Guimzo ; 20/07/2012 à 22h02.
Bonjour,
Voilà une tentative de mettre tout ça en notation mathématique,
Quelles sont s'il vous plaît les corrections à faire....??
∀(p,m,n) ∈ R* ,|p| = | m * n | ∧ |m| < |n| ⇒ |m|/|n| = 0.5 ∨ |m|/|n| < 0.5 ∨ |m|/|n| > 0.5.
|m|/|n| = 0.5 ⇒ m = sqrt(|p|) * sqrt(2)
|m|/|n| > 0.5 ⇒ sqrt(|p|) / sqrt(2) < |m| < sqrt(|p|) ∧ sqrt(|p|) < |n| < sqrt(|p|) * sqrt(2)
|m|/|n| < 0.5 ⇒ |m| < sqrt(|p|) / sqrt(2) ∧ |n| > sqrt(|p|) * sqrt(2)
∀p ∈ N* ∧ ∀(m,n) ∈ N* ( ∀x ∈ N* ( x | m ⇒ x = 1 ∨ x = m ) ∧ ∀y ∈ N* ( y / n ⇒ y = 1 ∨ y = n )) ∧p = m * n ∧ 2 < m < n ⇒ m / n ∈ ] 0 ; 0.5 [ U ] 0.5 ; 1 [
m / n > 0.5 ⇒ sqrt(p) / sqrt(2) < m < sqrt(p) ∧ sqrt(p) < n < sqrt(p) * sqrt(2)
m / n < 0.5 ⇒ m < sqrt(p) / sqrt(2) ∧ n > sqrt(p) * sqrt(2)
∀p ∈ N* ∧ ∀(m,n) ∈ N* ( ∀x ∈ N* ( x | m ⇒ x = 1 ∨ x = m ) ∧ ∀y ∈ N* ( y / n ⇒ y = 1 ∨ y = n )), p = m * n ∧ 2 < m < n ∧ m / n ∈ ] 0 ; 0.5 [ U ] 0.5 ; 1 [
sqrt(p) / sqrt(2) < m < sqrt(p) ∧ sqrt(p) < n < sqrt(p) * sqrt(2) ⇒ m / n > 0.5
m < sqrt(p) / sqrt(2) ∧ n > sqrt(p) * sqrt(2) ⇒ m / n < 0.5
Pour les réels en texte :
Pour tout Nombre Réel p différent de 0 tel que |p| = | m * n | avec |m| < |n|
Alors
soit |m|/|n| = 0.5
soit |m|/|n| < 0.5
soit |m|/|n| > 0.5
Si |m|/|n| = 0.5 alors |m| = sqrt(|p|) * sqrt(2)
Si |m|/|n| > 0.5 alors sqrt(|p|) / sqrt(2) < |m| < sqrt(|p|) <|n| < sqrt(|p|)*sqrt(2)
Si |m|/|n| < 0.5 alors |m| < sqrt(|p|) / sqrt(2) et |n| > sqrt(|p|) * sqrt(2)
Bonjour,
Voici la forme finale texte + graphique cas m/n = 0.5.
Il y aurait t-il des corrections à faire...?
Bonjour,
Alors pour la notation mathématique j'ai éssayé de mettre des guillemets comme tu le suggères @Sphinx :
∀(p,m,n) ∈ R* , " |p| = | m * n | " ∧ " |m| < |n| " ⇒ " |m|/|n| = 0.5 " ∨ " |m|/|n| < 0.5 " ∨ " |m|/|n| > 0.5 ".
( |m| / |n| = 0.5 ) ⇒ n = sqrt (|p|) * sqrt (2)
( |m|/|n| > 0.5 ) ⇒ " sqrt (|p|) / sqrt (2) < |m| < sqrt (|p|) " ∧ " sqrt (|p|) < |n| < sqrt (|p|) * sqrt (2) "
( |m|/|n| < 0.5 ) ⇒ " |m| < sqrt (|p|) / sqrt (2) " ∧ " |n| > sqrt (|p|) * sqrt (2) "
" ∀p ∈ N* "∧ " ∀(m,n) ∈ N* ( ∀x ∈ N* ( x | m ⇒ x = 1 ∨ x = m ) ∧ ∀y ∈ N* ( y / n ⇒ y = 1 ∨ y = n )) " ∧ " p = m * n " ∧ " 2 < m < n " ⇒ m / n ∈ ] 0 ; 0.5 [ U ] 0.5 ; 1 [
( m / n > 0.5 ) ⇒ " sqrt (p) / sqrt (2) < m < sqrt (p) " ∧ " sqrt (p) < n < sqrt (p) * sqrt (2) "
( m / n < 0.5 ) ⇒ " m < sqrt (p) / sqrt (2) " ∧ " n > sqrt (p) * sqrt (2) "
" ∀p ∈ N* " ∧ " ∀(m,n) ∈ N* ( ∀x ∈ N* ( x | m ⇒ x = 1 ∨ x = m ) ∧ ∀y ∈ N* ( y / n ⇒ y = 1 ∨ y = n )) " , " p = m * n " ∧ " 2 < m < n " ∧ " m / n ∈ ] 0 ; 0.5 [ U ] 0.5 ; 1 [ "
" ( sqrt (p) / sqrt (2) < m < sqrt (p) " ∨ " ( sqrt (p) < n < sqrt (p) * sqrt (2) ) ⇒ m / n > 0.5
" ( m < sqrt (p) / sqrt (2) ) " ∨ " ( n > sqrt (p) * sqrt (2) ) " ⇒ m / n < 0.5
Est-ce que c'est correcte surtout pour la partie avec les nombres premiers..?
Bonjour,
10 ans après lol..... : )
Pour re répondre au post du 17/07/2012, 04h32, il y a [ entre autre ] une façon de déterminer si le rapport m/n est supérieur ou inférieur à 0,5 sans connaître les valeurs de m et de n.
