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principe de récurrence



  1. #1
    Ana_20

    principe de récurrence


    ------

    bonjour,
    je ne comprend pas trop le but du principe de récurrence parce que l'hypothèse de départ, lorsqu'on dit supposons P(n)..
    Cette relation on sait déja quelle est vraie ?
    en faite quel est l'objectif d'un raisonnement par récurrence ?

    Merci

    -----

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  4. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : principe de récurrence

    Bonjour.

    On utilise un raisonnement par récurrence pour démontrer une infinité de propriétés quasi identiques : Elles ne diffèrent que par la valeur d'un entier. On peut encore dire, pour démontrer qu'une propriété P(n) (la propriété dépend d'un entier n) est vraie pour tous les entiers n.

    On a trois étapes :
    * Montrer que la propriété est vraie pour le premier entier 0 (*)
    * Montrer que SI la propriété est vraie pour un entier n=k, elle est aussi vraie pour l'entier d'après n=k+1
    * Conclure qu'elle est vraie pour tout entier n (**)

    Cordialement.

    (*) parfois le premier entier possible n'est pas 0, mais l'idée est la même, la conclusion sera "vraie pour tout entier au moins égal à ..."
    (**) partant de "vrai pour 0" et en appliquant systématiquement la deuxième partie, on trouve vraie pour 0 donc vraie pour 1 donc vraie pour 2 donc vraie pour 3 donc ... donc vraie pour 1000000000 donc vraie pour 1000000001 donc vraie pour 1000000002 donc ... Et on atteindra tous les entiers ainsi.

  5. #3
    Ana_20

    Re : principe de récurrence

    ok merci !! mais ca veut dire la propriété a l'entier n au début du principe est "une hypothèse" ?

  6. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : principe de récurrence

    Vous pouvez répéter la question ?

    Sérieusement, je ne comprends pas ce que tu dis.

    Je prends un exemple :
    Soit x un réel positif; on veut prouver que pour tout entier n,
    On peut faire cette preuve par récurrence. Ici P(n) est qui est bien une propriété (c'est une phrase, qui dit quelque chose sur des nombres) qui dépend bien d'un entier n.
    Où places-tu "une hypothèse" ?

    Cordialement.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Ana_20

    Re : principe de récurrence

    Voila ce que je ne comprend pas c'est qu'on te demande de prouver que (1+x)^n > 1+nx, et que apres toi tu prends comme propriété P(n) = (1+x)^n > 1+nx mais tu ne sais pas si c'est vrai ?

  9. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : principe de récurrence

    Je prends comme propriété P(n) : (1+x)^n >= 1+nx.
    Puis, après avoir démontré qu'elle est vraie au moins une fois (pour n=0, par exemple), dans la deuxième étape, je suppose que Pour un certain n, P(n) est vraie (ce que je sais !!!) et j'en déduis que pour l'entier suivant n+1, P(n+1) est vraie.

    Mais on peut remplacer cela par la preuve formelle :
    qui se démontre en prenant P(n) comme hypothèse. Quelle importance ?

    Par contre, je n'utilise pas la conclusion qui est Pour tout n, P(n) est vraie.

    Cordialement.

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  11. #7
    Ana_20

    Re : principe de récurrence

    Donc enfaite si P(n) implique P(n+1) cela signifie que P(n) est vraie !!

  12. #8
    Ana_20

    Re : principe de récurrence

    Et on sait que P(n) est au moins vrai a un certain rang n grâce a l'initialisation ?

  13. #9
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : principe de récurrence

    Ana,

    "si P(n) implique P(n+1) cela signifie que P(n) est vraie !! " ???

    x>1 implique x²>1
    Penses-tu vraiment que "x>1" est vrai ?

    Une implication exprime simplement un rapport logique qui est que lorsque la phrase du début est vraie (lorsque), alors celle de la fin est vraie.
    Mais ça ne dit rien de la véracité des deux phrases situées de part et d'autre de "implique".

    Cordialement.

    NB : Tu remarqueras que x²>1 peut être vraie même si x>1 est fausse (par exemple si x=-5).

  14. #10
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : principe de récurrence

    Autre idée importante :

    Si A implique B, alors si on sait que A est vrai, on est sûr que B est vrai.

  15. #11
    PlaneteF

    Re : principe de récurrence

    Bonjour,

    Juste pour illustrer ce qui vient d'être dit, la table de vérité de l'implication logique est la suivante :

    A B A => B
    Vrai Vrai Vrai
    Vrai Faux Faux
    Faux Vrai Vrai
    Faux Faux Vrai
    Dernière modification par PlaneteF ; 18/09/2012 à 11h22.

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