Bonjour, je coince sur un exercice de maths
1. Calcules le produit de quatre entiers consécutifs et ajouter 1. Que remarque-t-on ?
2. Montrer que pour tout réel a, on a : a(a+1)(a+2)(a+3)=(a²+3a+1)²-1. Expliquer le résultat observé à la question 1.
J'ai fais le 1 et j'ai démontrer a(a+1)(a+2)(a+3)=(a²+3a+1)²-1, mais je ne sais pas comment je peux explique le résultat observé à la question 1... T_T merci d'avance.
Bonsoir,
Qu'as-tu remarqué dans le 1) pour voir déjà si l'on a la même chose ?
bah, j'ai que remarqué que les résultats du 1, sont que des nombres impairs.. sinon c'est tout..
(1x2x3x4)+1 = 25Envoyé par pikachu75
(2x3x4x5)+1 = 121
Tu ne vois pas quelque chose de plus remarquable ? ... (inspire toi de la question 2) qui te donne la réponse)
Dernière modification par PlaneteF ; 04/10/2012 à 23h22.
je remarque que 25=5² et 121=11²
a(a+1)(a+2)(a+3)=(a²+3a+1)²-1
or a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a²+3a+1)²
1*2*3*4=24
et (1²+3*1+1)²-1=5²=25-1=24
2*3*4*5=120
et (2²+3*2+1)²-1=121-1=120
Oui, ... mais il faut donner une réponse plus générale qui soit valable dans tous les cas ...
Dernière modification par PlaneteF ; 04/10/2012 à 23h35.
je ne comprends pas, comment je peux démontrer de façon plus générale ?
Comment appelle t-on les nombres suivants : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, etc ...
ce sont les carrés des nombres...
donc je dois le démontrer pour tous les carrés ?
Non pas du tout, ... je crois que tu risques de tourner en rond très longtemps, ... donc :
1) Au vu des 2 exemples donnés plus haut, on peut conjecturer que le produit de 4 entiers consécutifs auquel on ajoute 1, donne un carré parfait.
2) La démonstration de cette conjecture est évidente d'après la formule démontrée dans cette question.
Dernière modification par PlaneteF ; 05/10/2012 à 00h00.
@-@....j'ai vraiment tourné en rond.... merci beaucoup pour ton aide !
Petite remarque : tu avais conjecturé, à juste titre, que le résultat était impair (même si ce n'était pas la réponse attendue).
La démonstration de cette conjecture est immédiate : le produit a(a+1)(a+2)(a+3) est composé de 2 nombres pairs et 2 nombres impairs (on a comme séquence soit "pair-impair-pair-impair", soit "impair-pair-impair-pair"), donc ce produit est multiple de 2 (càd pair), donc ce produit +1 est impair.
Dernière modification par PlaneteF ; 05/10/2012 à 00h20.
Au lieu de tourner en carrés parfaits
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
Oui, merci beaucoup. =)
