période d'une fonction

[willeulo]

bonjour je suis un peu flou sur une question que mon prof m'a posée en fait il demande quelle est la période de la fonction partie entière pouvez-vous m'aidé svp ? je ne sais pas par où commencer
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[PlaneteF]

Bonsoir,

je ne sais pas par où commencer

Ben par la définition d'une fonction périodique. Quelle est celle que tu connais ?

[willeulo]

quelque soit x élément de Df il existe uniquement T>0 et (x+T) élément de Df / f(x+T)=f(x)

[PlaneteF]

quelque soit x élément de Df il existe uniquement T>0 et (x+T) élément de Df / f(x+T)=f(x)

Hein, quoi ?? ... Relis ce que tu viens d'écrire, cela ne veut rien dire ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[willeulo]

quelque soit x élément de Df il existe uniquement T>0 et (x+T) élément de Df tel que f(x+T)=f(x)

[PlaneteF]

quelque soit x élément de Df il existe uniquement T>0 et (x+T) élément de Df tel que f(x+T)=f(x)

Ben cela ne veut toujours rien dire, tu n'as rien changé ... Que veux-tu dire par "il existe uniquement T>0" ??? ... tu veux dire "il existe un unique T>0" ?

[PA5CAL]

Bonsoir

Drôle de définition...

Cela voudrait dire que :
- si l'on prend un élément x₁∈Df, alors il existe un unique T₁>0 tel que (x₁+T₁)∈Df et f(x₁)=f(x₁+T₁)
- si l'on prend un élément x₂∈Df, alors il existe un unique T₂>0 tel que (x₂+T₂)∈Df et f(x₂)=f(x₂+T₂)
et que :
- rien n'empêche que T₁≠T₂ si x₁≠x₂
- on devrait nécessairement avoir f(x₁)≠f(x₁+2.T₁) ou bien (2.T₁)∉Df (puisque T₁ est l'unique élément vérifiant ces propriétés, alors l'élément 2.T₁ ne devrait pas les vérifier).

Cherchez l'erreur...

[PlaneteF]

Cherchez l'erreur...

Disons que pour l'instant, notre ami ne nous a toujours pas donné de définition intelligible, et c'est pour cela que je l'incitais à le faire avant de faire un commentaire, ... mais je soupçonne très fortement, dans le prolongement de ce que tu écris, qu'il y a ici une confusion entre : "quel que soit x, il existe T tel que" et "il existe T tel que, quel que soit x", qui ne veulent absolument pas dire la même chose ...

... mais cela reste un soupçon pour l'instant

[PA5CAL]

... Si après ça il ne commence pas, lui aussi, à avoir des soupçons au sujet de sa définition ...

[gg0]

Il y a plus : Le "uniquement" paraît assez bizarre !

[PA5CAL]

Il y a plus : Le "uniquement" paraît assez bizarre !

C'est justement le dernier point que j'ai relevé plus haut. Cela dit, ce n'est pas l'unicité qui pose problème (on pourrait envisager d'exclure expressément dans la définition les fonctions constantes et les périodes multiples de la plus petite période possible) mais plutôt ce sur quoi elle porte.

[PlaneteF]

Il y a plus : Le "uniquement" paraît assez bizarre !

Ben c'était justement l'objet de ma question en message #6

[gg0]

J'y suis revenu, car je n'arrive pas à le relier à quelque définition que ce soit. il y a une conséquence d'unicité de "la" période, mais elle ne sert pa à définir.

Cordialement.

[PA5CAL]

Il n'y a unicité de la période que si on la définit de façon restrictive (sinon, on en vient à considérer d'une part les fonctions constantes comme des fonctions périodique, et à conclure d'autre part que la période n'est pas unique, une définition non restrictive de la période impliquant qu'une fonction de période T est également une fonction de période n.T avec n∈N*).

Et effectivement, de ce point de vue l'unicité de "la" période (i.e. la plus petite possible) est une propriété qui découle de cette définition restrictive des fonctions périodiques, laquelle pourrait être :

∃T>0 | { ∀x∈D_f (x+T)∈D_f et f(x)=f(x+T) } et { ∀U>0 et U<T ∃y∈D_f | (y+U)∉D_f ou f(y)≠f(y+U) }

Mais le fait d'inclure l'unicité dans la définition (∃!T...) n'aurait alors aucune conséquence, et c'est comme cela que je l'entendais en écrivant que cela « ne posait pas problème ».



Mais comme ces considérations sont très probablement sans intérêt pour willeulo, je lui suggère de ne pas en tenir compte, et de s'en tenir à la définition donnée dans son cours de maths, laquelle n'indique très probablement pas cette notion d'unicité.