Derivéz et suite

[invite4c5a1e36]

grand bonjour a tout le monde , j'aimerai juste une precision sur ce exo :
soit f une fonction definie par
soit n un nbre entiers naturel non nul demontrer qu'il existe un polynome Pn' de degré n tel que

f^n etant la derivée n ieme de f

si je comprends bien l'ennoncé il faut que je calcul la premiere derivée, la seconde ,la troisieme .... et à partir de celles ci deduire f^n(x) la derivée nieme de f qui doit etre egale à celle de l'enoncé
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[PlaneteF]

si je comprends bien l'ennoncé il faut que je calcul la premiere derivée, la seconde ,la troisieme .... et à partir de celles ci deduire f^n(x) la derivée nieme de f qui doit etre egale à celle de l'enoncé

Bonsoir,

Tu ne vas pas vraiment t'"amuser" ici à calculer f⁽¹⁾, f⁽²⁾, et f⁽³⁾, ... tu vas simplement te contenter de f⁽¹⁾​, pour faire ensuite un raisonnement par récurrence qui va te permettre de démontrer la propriété rapidement.

[invite4c5a1e36]

comment vais je etablir ce raisonnement ,en me basant sur f'^(1) ?

[gg0]

Bonjour.

Je pense que PlaneteF te proposait cela pour initialiser la récurrence (on peut démarrer à 0 avec f⁽⁰⁾=f). Sinon, la récurrence est facile.
Une remarque : Si on ne te demande pas explicitement P_n, alors il suffit me montrer que
car est aussi un polynôme.
A moins qu'on te demande de prouver que les coefficients de Pn sont entiers.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Je pense que PlaneteF te proposait cela pour initialiser la récurrence (on peut démarrer à 0 avec f⁽⁰⁾=f).

En fait, si l'on démarre la récurrence à c'est juste pour "coller" à l'énoncé qui indique que est un entier non nul.

Cordialement.