Géométrie plane et "pour aller plus loin"

[invite0c52c48b]

Bonjour .

J'aurais besoin d'un peu d'aide en ce qui concerne la géométrie ! J'ai réussi à faire tout le début de l'exercice mais je bloque sur une question (qui pourtant doit être simple), et sur la seconde partie que je ne comprends pas vraiment...

La fameuse question :

Déterminer la distance du point M(1,2,3) à
D : x+y+z=1
2x-y-z=-1

Je ne sais pas exactement comment faire en ayant 2 équations de droite. J'imagine qu'il faut utiliser la formule ∥MA∧⃗u∥/∥ ⃗u ∥ = d(M,D), que l'on a démontré grâce aux questions précédentes.

Ensuite la partie que je ne comprends pas :

On a D et D' deux droites non coplanaires dirigées par des vesteurs unitaires u et v. On note "ô" (teta à l'origine, mais je ne sais pas le faire sur ordi), le réel de l'intervalle ]0;pi[, écart angulaire entre les vecteurs u et v.

Montrer que : ||u+v||=2cos(ô/2) et ||u-v||=2sin(ô/2)

Il y a une suite mais j'aimerais déjà comprendre ces deux questions pour le moment.
Merci beaucoup à tout ceux qui prendront la peine de lire et de me répondre ! )

Bonne journée !
-----

[invited9b9018b]

Bonjour,

Bonjour .

J'aurais besoin d'un peu d'aide en ce qui concerne la géométrie ! J'ai réussi à faire tout le début de l'exercice mais je bloque sur une question (qui pourtant doit être simple), et sur la seconde partie que je ne comprends pas vraiment...

La fameuse question :

Déterminer la distance du point M(1,2,3) à
D : x+y+z=1
2x-y-z=-1

Je ne sais pas exactement comment faire en ayant 2 équations de droite. J'imagine qu'il faut utiliser la formule ∥MA∧⃗u∥/∥ ⃗u ∥ = d(M,D), que l'on a démontré grâce aux questions précédentes.

Attention : ce ne sont pas deux équations de droites ! Ce sont deux équations de plan. Par contre, l'intersection de deux plans, si elle existe, est bien une droite.

Ensuite la partie que je ne comprends pas :

On a D et D' deux droites non coplanaires dirigées par des vesteurs unitaires u et v. On note "ô" (teta à l'origine, mais je ne sais pas le faire sur ordi), le réel de l'intervalle ]0;pi[, écart angulaire entre les vecteurs u et v.

Montrer que : ||u+v||=2cos(ô/2) et ||u-v||=2sin(ô/2)

Il y a une suite mais j'aimerais déjà comprendre ces deux questions pour le moment.
Merci beaucoup à tout ceux qui prendront la peine de lire et de me répondre ! )

Bonne journée !

Il y a peut être une façon plus simple de le faire, mais je vous propose de calculer d'abord , en faisant apparaitre un cos theta. La formule de duplication vous sera alors utile.

A+

[gg0]

Pour comprendre :

les droites ne sont pas coplanaires, mais les vecteurs eux le sont. On se place dans un plan (ABC) avec et . L'écart angulaire des droites est l'angle géométrique BAC. C'est donc la valeur absolue de la détermination principale (*) de l'angle des vecteurs.

Cordialement.

(*) prise entre -pi et pi.

[invite0c52c48b]

Merci beaucoup de vos réponses !
Alors pour le premier souci, si je comprends bien, je dois trouver la droite d'intersection des deux plans, puis la distance du point M à cette droite.
J'ai donc essayé quelque chose... La méthode est normalement juste mais je ne suis pas sûre du résultat.

A7BgFh-CEAA9ZW1.jpg
A7BgLGqCQAA70Lw.jpg

Est-ce juste ? Si oui, comment je dois faire ensuite pour trouver la distance du point au plan avec la formule ? Je pense devoir calculer le vecteur AM, puis le produit vectoriel en utilisant la règle de Sarrus, et enfin diviser par la norme du vecteur directeur, c'est bien ça ?
Merciii

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0c52c48b]

Désolée du double post !
J'ai un autre souci.. Je viens de tilter qu'il est possible de déterminer un vecteur directeur de la droite d'intersection de ces deux plans en faisant le produit vectoriel des vecteurs normaux de chacun des plans.
À ce moment là, on trouve (0,3,-3). Ce n'est donc pas le même que tout à l'heure. Je ne comprends plus rien...

[gg0]

Si je lis bien (c'est flou !) tu avais trouvé (0,-1,1). Ces deux vecteurs ont la même direction ! Il y a une infinité de vecteurs directeurs.

Pour la suite, tu as une méthode.

Cordialement.

[invite0c52c48b]

D'accord donc (0,-1,1) ou (0,3,-3) ça revient au même...
Par contre "tu as une méthode" ne m'aide pas. Si je pose la question c'est justement parce que je ne sais pas et que je n'ai pas trouvé dans mon cours. J'ai juste la formule que j'ai démontré par les questions précédentes.
Merci quand même !

[gg0]

parce que je ne sais pas et que je n'ai pas trouvé dans mon cours. J'ai juste la formule

Ben justement, c'est ça la méthode dont je parlais. Tu as dit du début que tu pouvais le faire, il faudra te décider à commencer à penser à s'y mettre.

Cordialement.

[invite0c52c48b]

Je ne savais juste pas si en calculant un produit vectoriel je devais additionner les termes ou si je devais les laisser séparés comme des coordonnées, j'ai cherché et j'ai trouvé ma réponse, du coup j'ai réussi !
J'ai trouvé vecteur AM (1;1;3)
J'ai vecteur u(0;-1;1)
Du coup le produit vectoriel donne (0;3;-3) et j'ai d(M,D) = 3.
J'ai également essayé avec le vecteur (0;3;-3) et je tombe également sur 3. Ce doit être bon ! Merci !!

Je m'en vais chercher pour la suite qui doit être plus compliquée.