Bonsoir ,
j'aurais besoin d'aide pour un dm sur les probabilité..
"on étudie la mise en place d'un test de diagnostique qui doit admettre de dépister une maladie m dont la fréquence ( ou prévalence) dans la population est notée p , avec 0<p<1.
on prélève au hasard une personne ayant été soumise au test.
on définir les événements suivants:
T:"le test est positif" M:"la maladie est présente"
pour tout test , le fabricant indique:
-la probabilité P,M,(T) qu'un individu malade ait un test positif, appelé sensibilité du test et notée Se.
-la probabilité P,M barre,(T barre ) qu'un individu sain ait un test négatif , appelé spécificité du test et notée Sp.
le test est idéal quand Sp= Se = 1
1) illustrer la situation par un arbre
2)
a)Exprimer P(M inter T), P(M inter T barre ) , P ( M barre inter T) , P(M barre inter T barre ) en fonction de p, Se et Sp.
b) Montrer que la probabilité que le test délivre une juste conclusion est égale à : p(Se-Sp)+Sp
3) On appelle :
-Valeur prédictive positive du test ( VPP) , la probabilité P,T,(M) d’être malade sache le test est positive
-Valeur Prédictive négative du test (VPN) , la probabilité P,T barre, (M barre ) d’être malade , Sachant que le test est négatif .
a) calculer P(T)
b) exprimer les deux valeurs prédictives VPP et VPN en fonction de p,Se et Sp.
c) le test apporte une information intéressante si VPP > p. montrer que dans ce cas Se + Sp >1
4) application au diagnostic du paludisme
la prévalence p du paludisme est de 90% en Afrique et de 1/1000 en France.
le test biologique utilisé a pour sensibilité Se= 0.95 et pour la spécificité Sp= 0.85
a) calculer VPP et VPN pour l’Afrique et la France .
b) En déduire ce que l'on peut dore en terme de probabilités à un patient africain et à un patient anglais selon que son test est positif ou négatif.
5) influence de la prévalence sur VPP et VPN.
En conservant les caractéristiques du test précédent (Se=0.95 et Sp=0.85), on considéré les fonctions v et W définies sur ]0;1[ par v(p)=P,T,(M) et w(p)=P,T barre ,(M barre ).
a) donner l'expression de v(p) et W(p) en fonction de p
b) Sur un tableur , tabuler les valeur de v(p) et w(p) pour p variant de 0.01 à 0.99 avec un pas de 1/100 et obtenir les deux courbes .
6) Répondre aux questions suivantes en argumentant:
a) que peut-dire de l’influence de la prévalence p sur les paramètres: Se,Sp,VPP,VPN ?
b) lorsque p n'est pas trop faible , en quoi la positivité du test est-elle un élément important du diagnostic ?
c) lorsque p est faible , v(p) l'est aussi : pourquoi le rapport de vraisemblance : RV=(P,M,(T))/(P,M barre,(T barre)) est-il à prendre en compte dans le processus diagnostique ?
d) pour une maladie rare, quels inconvénients présente un test de dépistage systématique de toute populations?
Merci d'avance
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