Trigonométri

[invite715e21cb]

Bonjour,
j'ai un exercice à faire qui doit nous préparer à un contrôle, mais je n'y arrive pas à la dernière question
M appartient au demi-cercle de diamètre [AB], de centre O, et rayon 1, H est son projeté orthogonal sur [AB]. On note t la mesure en radian de BÂM, telle que 0<t</2
1. donner une mesure en radian de BÔM.
2. En déduire que l'aire du triangle HAM est égale à f(2t) où f(x)=1/2 (1+cos x) sin x.
3. a. Montrer que f'(x)= (cos x-1/2) (1+cos x).
b.étudier le signe de (1+cos x) et de cos x- 1/2 sur [0; pi[
c.en déduire le signe de f'(x) sur [0;pi[
4. Est il possible que l'aire du triangle HAM soit supérieure à 0.5 ? Si oui pour quels points M ?

à la 1 j'ai trouvé que BÔM = 2t
comme O est le centre du cercle [OA]=[OM]
on sait que OÂM = OMA = t
et que la somme des angles c'est 180° = pi
donc AÔM =pi - 2t
AÔB =pi
BÔM =AÔB-AÔM = 2t
Et j'y suis arrivée au 2, au 3.a, au 3.b et au 3.c aussi, donc vous pouviez m'expliquer le 4 s'il vous plait
Merci d'avance
-----

[gg0]

Bonjour.

Tu as tout ce qu'il te faut pour finir l'étude de la fonction f(x) qui est l'aire. Fais-la.

Cordialement.

[invite621f0bb4]

On t'a fait calculé la dérivée, tu peux t'en servir pour faire les variations ce la fonction sur l'intervalle [0;pi[, ça peut déjà te donner une idée de la réponse

[invite715e21cb]

Pour la 4 j'ai dérivé g(x) en utilisant (UV)'
ca me donne g'(x)= -sin^2(2t) +cos(2t) +cox^2(2t)
j'ai fait le tableau de signe de [0;pi]
0 pi/2 pi
-sin^2(2t) - -
cos(2t) + -
cos^2(2t) + +
g'(x) - +
C'est correct ou pas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite715e21cb]

Pour la 4 j'ai dérivé g(x) en utilisant (UV)'
ca me donne g'(x)= -sin^2(2t) +cos(2t) +cox^2(2t)
j'ai fait le tableau de signe de [0;pi]
dans l tableau de signe je mets 0 ; pi/2 ; pi
-sin^2(2t) négatif sur [0, pi/2] négatif[ pi/2; pi[
cos(2t) positif sur [0; pi/2] négatif[ pi/2; pi[
cos^2(2t) positif sur [0, pi/2] positif [ pi/2; pi[
g'(x) négatif sur [0; pi/2] positif[ pi/2; pi[
C'est correct ou pas ?
c'est plus clair comme ca ^^

[invite621f0bb4]

La fonction qui à x associe l'aire du triangle HAM est f(x).
D'où vient ton g'(x) ?
Si c'est ta dérivée de f(x), deux choses : laisse la lettre f (ne la remplace pas par g quoi). Et laisse x à la place de 2t (on te précise bien que 2t <=> x).
D'autant qu'on te donne la dérivée à trouver.

Pour la question 4 il n'y a donc pas de nouvelle dérivée à trouver, il faut te servir de la fonction f

[invite715e21cb]

Ha d'accord parce qu'en fait j'ai crée une fonction g parce que j'avais dit que l'aire du triangle est >o.5
si f(2t)>0.5
(1+cos (2t)) sin(2t)>1
et j'ai poser la fonction g(x)=(1+cos (2t)) sin(2t)
Donc ce que j'ai fait ne va pas du tout en fait...

[invite621f0bb4]

As-tu dressé le tableau de variation de f ? Tu dois savoir que la fonction est croissante si le signe de la dérivée est positif etc..
Et tu complètes ton tableau de variations en calculant les images de f pour chaque x qui annule la dérivée.
Peux-tu en déduire quelque chose ?

[invite715e21cb]

Oui oui je trouve que sur [0;pi/3] f'(x) est positive et sur [pi/3;PI[ f'(x) est négative donc la fonction f(x) est croissante sur [0;pi/3] et décroissante sur [pi/3;PI[
Et si je comprends bien je dois calculer f(pi/3)=1/2 * (1+cospi/3) sin(pi/3) ?

[invite621f0bb4]

Voilà.
Ensuite en fonction du résultat, tu pourras déterminer si l'aire de HAM peut être supérieure à 0.5.

[invite621f0bb4]

ps : calcule aussi les images aux bornes de l'intervalle de définition : en zéro et en pi. Enfin la fonction n'est pas définie en pi, donc si t'as vu les limites tu peux calculer la limite quand x tend vers pi.

[invite715e21cb]

Mais quand on fait f(pi/3)=1/2 * (1+cospi/3) sin(pi/3) il faut trouver (3*racine de 3)/8 ?
Donc l'aire du triangle HAM sera supérieure à 0.5 quand le point M se trouvera dans l'intervalle [0;pi/3]
et M<(3*racine de 3)/8

[invite715e21cb]

oui je l'ai fait et ca me donne 0 et 0 pour 0 et pi. On est entrain de voir les limites de fonctions mais on vient de commencer

[invite621f0bb4]

C'est bien ça (enfin j'ai pas vérifié tout ce que tu as fait, mais ça m'a l'air correct).

[invite715e21cb]

D'accord merci beaucoup !

[gg0]

Libie,

attention, ce que tu écris n'a pas de sens :
"Donc l'aire du triangle HAM sera supérieure à 0.5 quand le point M se trouvera dans l'intervalle [0;pi/3]
et M<(3*racine de 3)/8 "
M est un point, pas un nombre !
Il vaudrait mieux, après avoir étudié les variations de f, répondre simplement à la question par oui ou par non : On ne te demande pas, à cette question, de déterminer les points convenables (donc les valeurs de t ou de x nécessaires). Il est facile de voir que pour x légèrement supérieur à Pi/2 l'aire dépasse 1/2, mais déterminer jusqu'à quelle valeur de x c'est vrai, c'est assez difficile.

Cordialement.

[invite715e21cb]

Je suis désolée mais je ne comprend pas parce qu’on n'a jamais parlé de pi/2 donc comment sait on que si x > pi/2 l'aire >1/2 ?

[invite621f0bb4]

Halala, je suis désolé je viens justement de percuter mon "erreur" et je vois que gg0 m'a corrigé (en rappelant ton "erreur").

[gg0]

je ne comprend pas parce qu’on n'a jamais parlé de pi/2

Non, c'est moi qui en parle.

comment sait on que si x > pi/2 l'aire >1/2 ?

On ne le sait pas parce que c'est faux.

Tout ça me confirme dans l'idée que tu n'as pas étudié sérieusement la fonction f et que tu n'as rien compris. Dommage !

[invite715e21cb]

Mais si je l'ai étudié la fonction f vu que j'ai fait la dérivé et j'ai étudier le signe de la dérivé et que j'ai vu la valeur pi/3 qui annule cosx-1/2 et à partir de ça j'ai établie la tableau de variation qui m'a donné le sens de variation non ?

[gg0]

Donc tu as eu la réponse à la question !
Maintenant, en calculant f(pi/2), et en tenant compte du sens de variation de f, tu peux comprendre (trace la courbe de f sur ta calculette, si tu veux). En faisant bien attention à ne pas confondre x(nombre et mesure d'un angle) et M (point).

Mais je le redis, pour répondre à la question de l'énoncé, pas besoin de tout ça, juste voir les valeurs de f(x) dans le tableau de variations.

Cordialement.

[invite715e21cb]

D'accord merci beaucoup.

[invite0672a485]

Bonsoir j’ai aussi ce même exercice à faire mais je ne comprends pas car dans la question 4, oui l’aire du triangle peut être supérieur à 0,5 mais ils demandent aussi pour quels points M, et donc comment pouvons nous trouvez ces points ?

[gg0]

Ben ... puisque tu dis que l'aire peut être supérieure à 0,5, c'est que tu connais des points M qui conviennent (donc le t qui correspond). A toi de trouver tous les points possibles.

Bon travail !

[invite0672a485]

Bonsoir, merci de votre aide
nous avons utilisé le tableau de variation et on a déduit un encadrement des points M possible tels que x appartient à [x1;x2] pour que f(x)>0,5
D’apres le tableau de variation on a dit 0<x1<pi/3 et x2=pi/2
Ensuite depuis notre calculatrice on a tracer la courbe de f(x) et celle de 0,5 et on a demander l’intersection de ces deux courbes sur [0;pi/3] ce qui nous donne environ 0,57
Ainsi les points M pour lesquels l’aire est supérieur à 0,5 sont les points compris dans l’intervalle [0,57;pi/2]
pensez vous que cela soit juste ?