Equation ax+by=D avec D=PGCD(a;b) dans Z*Z

[voyage200]

Bonsoir au Forum

Voici une équation de niveau Spécialité Mathématiques (Terminale S).
Pouvez-vous vérifier qu'elle est bien résolue, s'il vous plaît ?


Résolution d'équation avec dans




1.a.On donne deux entiers relatifs et et on considère l'équation , où l'inconnue est un couple d'entiers relatifs. Trouver une condition nécessaire et suffisante, portant sur et , pour que l'ensemble des solutions de cette équation ne soit pas vide.


C'est l'égalité de Bézout : deux entiers et sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers relatifs et tels que .


Donc l'équation a des solutions si et seulement si et sont premiers entre eux.





1.b.Vérifier que le couple est solution de l'équation (E). En déduire l'ensemble des couples de qui sont solutions de (E).






Donc et sont premiers entre eux.


On soustrait membre à membre les deux égalités.




et

On obtient l'équation




soit



et divise

Donc divise .


Comme et sont premiers entre eux, d'après le théorème de Gauss, divise .


Donc est un multiple de ; donc il existe tel que ; donc .


Reportons l'égalité dans .


On obtient soit en simplifiant par , c'est-à-dire .



Les solutions de (E) sont donc les couples avec .






2.On considère dans l'équation (E).


2.a.A l'aide de l'algorithme d'Euclide, déterminer une solution particulière de (E).













donc et sont premiers entre eux.













Donc



2.b.Résoudre (E)


On soustrait membre à membre les deux égalités et .


On obtient l'équation , soit .


et divise , donc divise . Comme et sont premiers entre eux, d'après le théorème de Gauss, divise .


Donc est un multiple de , donc il existe tel que , donc .




Reportons l'égalité dans . On obtient , soit, en simplifiant par , , c'est-à-dire .



Les solutions de (E) sont donc les couples , avec .




2.c.Résoudre dans l'équation 62x+43y=3.





On soustrait membre à membre les deux égalités et .


On obtient l'équation , soit .



Par une méthode analogue aux précédentes, on obtient comme solutions les couples , avec .





3.Résoudre dans l'équation .




et sont premiers entre eux, est une solution particulière de l'équation.


Par une méthode analogue aux précédentes, on obtient comme solutions les couples , avec .
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[voyage200]

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[voyage200]

Voici cet exercice format images .png

Equation pgcd _1.jpg

Equation pgcd _2.png

Equation pgcd _3.png

Equation pgcd _4.png

Equation pgcd _5.png

[DiracWorld]

je ne vois aucune erreur mais je suis en 3 eme pas en terminale spécialité math donc jsp trop...

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

je ne vois aucune erreur mais je suis en 3 eme pas en terminale spécialité math donc jsp trop...

Quel intérêt de répondre, dans ce cas ?

[DiracWorld]

J'ai pris le temps de vérifier et s'est bon maintenant je suis sure

[DiracWorld]

albanxiii quand je dit ça c'est que j'ai vérifier selon ce que je connais et que sa marche, maintenant j'ai vérifier ce que je connais.