énigme (avec pgcd)
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énigme (avec pgcd)



  1. #1
    invite7fc34639

    énigme (avec pgcd)


    ------

    bonjour à tous,

    voilà :

    Un homme se trouve au bord de la mer. Il a deux seaux de volumes de a et de b litre, avec pgcd (a,b) = 1. comment peut-il mesurer exactement un litre d'eau? (sans autre moyen que les deux seaux, mais en connaissant a et b)

    -----

  2. #2
    invitedebe236f

    Re : énigme (avec pgcd)

    facile avec a b connu
    mais tu veux qu on demontre toute les solutions ca c est plus dur

    je me lance
    le truc est de transvaser n fois de a vers b on conside a<b
    comme il ont un pgcd de 1 une fois rempli b il va rester dans a soit 1 l soit plus on vide b on vide a dans b et on recommence

    hum pas sur que ca marche

  3. #3
    doryphore

    Talking Re : énigme (avec pgcd)

    J'espère que notre bonhomme sait que grâce au théorème de Bezout, il exite u et v dans Z tels que au+bv=1. Sinon, j'imagine le stress.
    Sinon, on peut sûrement trouver un système basé sur l'algorithme d'Euclide mais malheureusement, je suis trop fainéant.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  4. #4
    invitedebe236f

    Re : énigme (avec pgcd)

    nabbla je prefere ta demonstration a la mienne
    mais bon moi de toute facon j ai un seau d un litre

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite7fc34639

    Re : énigme (avec pgcd)

    et oui le but c'est de démontrer, moi aussi intuitivement j'arrive à voir ce qui ce passe, mais formaliser le problème c'est une autre histoire.

  7. #6
    inviteca3a9be7

    Re : énigme (avec pgcd)

    D'après bezout, et quitte à échanger a et b, on a :

    a*u = 1 + b*v avec u,v > 0.


    Donc n remplit a que l'on vide (éventuellement plusieurs fois) dans b jusqu'à le remplir. Quand b est plein on le vide. On fait cette manoeuvre 'u' fois. Ce qui reste dans a c'est 1 littre !

  8. #7
    invite6f044255

    Re : énigme (avec pgcd)

    Oui ça marche.
    On peut aussi le voir comme suit:

    1 = a*u - b*v

    On doit donc remplir u fois a et vider v fois b....
    Donc en remplissant b et en le visant dans a, que l'on vide, c'set bien ce qu'on fait!!!

    En gros, quand un verre est plein, on le vide; et quand un verre est vide, on le plaint

  9. #8
    btve

    Re : énigme (avec pgcd)

    maintenant peut-on généraliser à obtenir pgcd(a,b) litres. Avec biensur a et b non permiers entre eux.

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