problème de populations

[invite831da40e]

bonjour!!! En essayant de résoudre mon examen de juin (outils mathématiques de modélisation) pour la n-ième fois, je me rends compte que je n'avance pas du tout, et qu'il doit donc clairement me manquer quelques notions de base...
Quelqu'un pourrait-il m'aider, ou ne fut-ce que me donner les etapes a suivres? Ou peut-etre existe-t-il un site qui explique tout ça?

Merci beaucoup!!!


"Considérons 2 populations coèxistant dans la meme région. Soit x(t) le nombre d'individus de la premiere population et y(t) le nombre d'individus de la seconde, t est donné en années. On peut représenter de différentes façons l'évolution de ces deux populations, voici 4 modèles différents, représentant cette situation:

MODELE 1: dx/dt = 3x
dy/dt = y

MODELE 2 : dx/dt = 3x + 3x cos (2t Pi)
dy/dt = y + y cos (t Pi)

MODELE 3 : dx/dt = 3x - (1/4)y
dy/dt = y + 3x

MODELE 4 : dx/dt = 3x - ((x^2)/100)
dy/dt = y - ((y^2)/100)

A)Caractérisez chacun de ces modèles: comparaison des taux de reproduction, caractère saisonnier de la reproduction, considération de la mortalité, influence mutuelle ou indépendance des deux comportements, rôle respectifs des proies et prédateurs, croissance limitée ou illimitée du nombre d'individus

B) Trouvez x(t) pour les 4 modèles, si x(0) = 50 et y(0)=10.

C) Imaginez (sans en calculer la solution) un modèle (modèle 5) qui vous paraît le plus réaliste possible."
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[invite6f044255]

Salut,

je vais essayer de répondre, au moins en partie:

A) 1er modèle: ici, la seule chose à voir est que plus il y a de gens et plus la vitesse de reproduction est grande...logique. On voit quand même que x pour une population donnée se reproduit beaucoup plus vite que y (3 fois plus vite).

2e modèle: ici, c'est le comportement saisonnier. La vitesse de reproduction de x dépend comme au 1er modele de la population, mais aussi de l'époque. Ainsi à t entier (déc-janvier...les gens restent au lit), la vitesse de reproduction est très grande. Mais pour t demi-entier (juillet...les gens sont à la plage), elle est nulle.
Par contre y a un cycle en deux ans....

3e modèle: l'interdépendance. Plus il y a de y, moins la reproduction de x est grande. Au passage, une prolifération de y entrainerait une disparition de x...
En revanche, y s'appuie sur x. On pourrait imaginer y parasite de x.

4e modèle: là c'est la mortalité. Plus la population est nombreuse, moins la vitesse est grande, une espèce de surpopulation. Pourquoi est-ce en x^2? je sais pas....

Ensuite pour la croissance limitée ou non, c'est des équas diff à résoudre.
cas 1: illimitée, c'est clair (exponentielle)
cas 2: illimitée je pense bien
cas 3: ça va dépendre des conditions initiales, je pense que x disparait facilement quand même. Par contre y est illimitée.
cas 4: là, ça doit tendre vers une limite.

B) je vais essayer de résoudre les équas diff, pour voir...et vérifier la limitation de la croissance....

C) un modèle qui prenne en compte tous les éléments ci dessus?

[invite831da40e]

je vais essayer de m'en sortir avec ça, merci beaucoup!!!!