Suite strictement positive

[invite41bc5660]

Bonsoir,

Je bloque sur une question d'un exercice on me demande de montrer qu'une suite est strictement positive mais je ne vois pas comment faire. Si quelqu'un aurait une méthode ou un début de démarche se serait top.


Merci d'avance
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[invite4ff70a1c]

Bonjour.
On te demande de prouver que .Généralement,on utilise un raisonnement par récurrence.
Il y'a bien sur d'autres méthodes,cela dépend des données du problème.
Sauf erreur.

[gg0]

Un de plus qui croit qu'on peut deviner son énoncé !

Tu as toutes les méthodes vues en cours pour faire cette preuve, donc tu choisis. Ou, si tu ne trouves pas, tu expliques quelle est cette suite (comment veux-tu qu'on sache quelle méthode s'y applique).

Vérifie quand même que ce n'est pas évident (genre suite de racines carrés, ou d'exponentielles).

Cordialement.

[invite41bc5660]

Voici l'énoncé : montrer que les suites un et vn sont strictement positives. On nous donne un+1=(2unvn)/(un+vn) et vn+1=(un+vn)/2 et on nous indique que 0<u0<v0

Je voulais dabord determiner un et vn mais comme on ne me donne pas précisément u0 je ne sais pas trop comment m'y prendre

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Dans ce cas, ça se fait par une récurrence très évidente.

Bon travail !

[invite41bc5660]

Mais avec une récurrence je vais pouvoir montrer qu'elle est croissante et non positive ou c'est aussi possible ?

[gg0]

Avec une récurrence, tu montres ce qui t'intéresse !!

C'est un mode de preuve, tu l'utilises quand il fonctionne, pour faire la preuve que tu veux. Rien à voir avec la croissance, même si tu l'as parfois utilisée pour ça...

[invite41bc5660]

Je ne vois pas qu'elle hypothèse de récurrence faire :s

[gg0]

Que veux-tu démontrer ?

NB : Quand c'est simple, la récurrence est quasi évidente.

[invite41bc5660]

deja je voulais trouver un mais je ne sais pas non plus comment le faire et apres demontrer avec une hypothese de récurrence que un est positif grace a la donnée 0<u0

[gg0]

"deja je voulais trouver un mais ..." ??
Si tu n'es pas capable d'écrire une phrase complète ...

Les deux suites sont construites ensemble, donc la récurrence porte sur les deux suites. Soit tu sais faire une preuve par récurrence, tu t'y mets, et ça prend 2 mn, soit tu ne sais pas, et il serait temps d'apprendre : Reprends tes cours, et tes exercices pour des exemples.
N'attends pas qu'on fasse ton travail, ce n'est pas la mode sur le forum.

[invite41bc5660]

ma phrase est correcte un ou Un si tu préfère. Et pour la récurrence je ne sais pas mais si je suis sur le forum c'est vraiment comme dernier recourt car j'ai déja essayé avec le cours et les exercices déja fait. Je ne veux pas que sa me tombe dessus tout cuit mais plutot comprendre comment faire car si je me retrouve devant une meme question le jour d'une épreuve je veux savoir le refaire.


Merci quand meme

[inviteea028771]

L'idée d'une démonstration par récurrence est simple : Il faut montrer que si une propriété est vraie pour un certain rang, alors elle est vrai pour le rang suivant. Si en plus elle est vraie pour le premier rang (ici n=0), alors cette propriété est vraie.

Ici la propriété qui t’intéresse c'est "Un et Vn sont strictement positives".

Il faut donc montrer que "si Un et Vn sont strictement positives, alors U(n+1) et V(n+1) sont strictement positives". Donc il serrait logique de commencer la démonstration de la récurrence par quelque chose du genre "soit Un et Vn strictement positifs, alors...", et arriver à quelque chose du genre "alors on a V(n+1) > 0 et U(n+1) > 0".


On aura alors montré que si la propriété est vraie pour n, alors elle est vraie pour n+1. Si en plus on montre qu'elle est vrai pour n=0 (ici c'est donné, mais il faut tout de même l'indiquer), alors elle est vraie pour tout n positif ou nul.

[invite41bc5660]

D'accord merci beaucoup pour avoir pris le temps de m'expliquer en détail j'ai compris et je pense réussir a le faire

[invite41bc5660]

Jai fais mon hypothese de recurrence c'est bon mais je bloque aussi sur une autre question.
On me demande de montrer que l'on a : wn+1=(vn-un)^2/2(un+vn) et on nous dit que wn=vn-un
Donc jai commencé avec wn+1=(vn+1)-(un+1)
Jai mis sur le meme denominateur et j'obtiens wn+1=(un^2+2unvn+vn^2-4un-2vn)/(2(un+vn)
Et la je bloque je ne retombe pas sur l'énoncé.

[gg0]

Manque de soin (écriture ?) :

Le numérateur de u_n+1 est 2u_nv_n, pas 2u_n-v_n.

Cordialement.

NB : Quand "ça ne marche pas", on relit bien l'énoncé, et on reprend les calculs pour ne pas faire d'erreur.