fonction strictement monotone

[invite14ace06c]

salut a tous,

es ce que la définition suivante est juste :
f est une fonction strictement monotone sur [a,b] si et ssi:
f '(x) est strictement positif ou strictement négatif sur ]a,b[

merci a vous
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[invite769a1844]

Salut,

regarde la fonction au voisinage de 0.

[invite14ace06c]

donc la définition est juste !

[invite769a1844]

la définition de quoi? La fonction a sa dérivée qui s'annule en 0 alors qu'elle est strictement croissante.
Donc il y a un sens dans l'équivalence que tu as donné qui n'est pas toujours vérifié.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteec9de84d]

Exactement.
De plus, on appelerais ton truc une propriété plutôt qu'une définition : et il ne s'agit pas d'une équivalence comme te l'a fait remarqué rhomuald.

La définition de strictement monotone est :
f est strictement monotone sur I ssi pour tout a et b de I, a<b (resp. a>b) => f(a)<f(b) (resp. f(a) > f(b)).

[invite14ace06c]

aah désolé pour (si et ssi)
c'est une implication comme suit :

si f '(x) est strictement positif ou strictement négatif sur ]a,b[
alors f est une fonction strictement monotone sur [a,b] .

[invite769a1844]

si f '(x) est strictement positif ou strictement négatif sur ]a,b[
alors f est une fonction strictement monotone sur [a,b] .

...et f est continue sur [a,b] ? Pour montrer cette implication tu peux utiliser le théorème des accroissements finis.

[invite14ace06c]

oui oui
f est continue sur [a,b]

[invite6acfe16b]

Bonjour,

De toute façon la définition n'est pas une équivalence, car elle oublie qu'il y a plein de fonction monotone qui ne sont pas dérivables.

[invited43adef3]

bonjour

soit f une fonction définie sur I et dérivable sur J inclus dans I , alors :

f est strictement monotone sur I ssi . pour tout x apartient à J , f'(x)>= 0 ou bien f'(x)<= 0
et
. L'ensemble des points où f' s'annule est d'intérieur vide (càd ensemble vide ou réduit à un point)

[gg0]

Issamix,

ton "si et seulement si" est lui aussi faux !
La plupart des fonctions monotones sont nulle part dérivables. Sylvestre en a déjà parlé.
D'autre part, d'intérieur vide est beaucoup plus large que ce que tu en dis. par exemple est strictement croissante et a une infinité de valeurs où sa dérivée est nulle.

Cordialement.