[Exercices sur les fonctions et les suites]

[invite20a62f7d]

Bonsoir à toutes et à tous,
J'avais déjà posté un message tout à l'heure mais mes pièces jointes étaient illisibles, j'ai donc voulu joindre un message supplémentaire mais je ne pouvais pas me connecter car je ne me souviens plus de mon code --', j'ai donc recréé un compte.
Le message était le suivant :
Bonjour à tous et à toutes,
Je compte passer le concours Science Po en mai avant le B.A.C., j'ai choisis l'option mathématique pour le concours et je fais pas mal d'exercices pour m'entraîner, des exercices donnés par mon professeur au lycée et des trouvés sur internet. Mais là j'en ai trouvé des ''types'' qui ne sont pas corrigés, j'ai réussis à faire l'exercice 2 en entier et l'exercice 1 jusqu'à la question 3 comprise mais je n'arrive pas à faire la suite de l'exercice 1, ni l'exercice 3. Pourriez vous m'aider car il n'y a pas de corrigé et j'aimerais bien comprendre de manière à pouvoir le refaire si ça tombe au concours. J'ai mis les exercices en pièces jointes.
Merci beaucoup d'avance!

PS: Je n'aurais pas le temps de les faire en dehors des vacances c'est pour ça que je comptais faire ça aujourd'hui et demain, en espérant avoir une réponse, encore merci
Cordialement !

Les pièces jointes ne marchant pas je vous tape l'énoncé de l'exercice 3 (le 1 est impossible à taper:
1/ g est la fonction définie sur [-π/2;π/2] par g(x) = sin(2x)
a)étudier sa parité.
b)étudier son sens de variation.
c)Tracer sa courbe après avoir dessiné précisément sa tangente au point d'abscisse 0 et ses tangentes aux points d'abscisses -π/4 et π/4.
2)Un rectange ABCD est inscrit dans un demi-cercle de rayon 1, de centre O, de diamètre [KJ]. θ désigne une mesure en radians de l'angle BOC et on suppose que θ appartient à l'intervalle [0;π/2].
a)Donner l'expression de l'aire du rectangle ABCD en fonction de θ
b)Déterminer la valeur de θ pour laquelle l'aire du rectangle est maximale.
c)Quelles sont alors les dimensions de ce rectangle? Le dessiner.

Voilà l'énoncé, merci beaucoup d'avance!
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[jamo]

Bonjour
ça serait bien de mettre ce que tu as fait , on ne peut donner la solution .

[invite20a62f7d]

1/a) Une fonction f est paire si f(x) = f(-x) et impaire si f(x) = -f(-x)
En l'occurrence, sin(-2x) = -sin(2x), donc g est impaire.

b) Le plus simple est de dériver f. La formule de dérivation de fonctions composées est:
(u o v)' = v' . u' o v
On applique avec u(t) = sin t et v(t) = 2t
On a: u'(t) = cos t et v'(t) = 2
Donc: g'(x) = (u o v)'(x) = v'(x). u'(v(x)) = 2.cos(2x)

g' est positive sur ]-π/4;π/4[ et négative sur ]-π/2;-π/4[U]π/4;π/2[
g' s'annule en +/- π/4

Donc:
g(x) décroît de g(-π/2)=0 à g(-π/4)=-1 quand x croît de -π/2 à -π/4
g(x) croît de g(-π/4)=-1 à g(π/4)=1 quand x croît de -π/4 à π/4
g(x) décroît de g(π/4)=1 à g(π/2)=0 quand x croît de π/4 à π/2

c) g'(-π/4) = g'(π/4) = 0
Les tangente à la courbe représentative de g aux points d'abscisses -π/4 et π/4 sont parallèles à l'axe des abscisses (droites d'équation y=-1 et y=1, respectivement).

g'(0)=2
La tangente à la courbe représentative de g en 0 est la droite d'équation y=2x

On note aussi: g'(-π/2) = g'(π/2) = -2
Les tangentes à la courbe en -π/2 et π/2 sont les droites d'équation y = -2(x+π/2) et y=-2(x-π/2) respectivement

Note: La tangente de f au point x0 est la droite d'équation: y = f'(x0).(x - x0) + f(x0)

Avec 5 points et les 5 tangentes correspondantes, on peut tracer la courbe sans trop d'erreur

2) a) La réponse change selon la manière dont on fait le dessin.
Je suppose que A et B appartiennent au diamètre [KJ] , (BC) étant perpendiculaire à ce diamètre (et non pas A et D ∈ [KJ], (BC) étant parallèle à (KJ))

Le rectangle a pour longueur AB = 2.OB = 2.cos θ, et pour largeur BC = sin θ
L'aire du rectangle est donc: S(θ) = 2.cos θ.sinθ = sin 2θ

Comment faire pour b et c en suite ? et est ce bon pour le reste?

[jamo]

puisque g est impaire ( symétrie / origine ) ; il faut réduire l'intervalle d’étude soit [Pi/2,o] ou [0,Pi/2]

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite20a62f7d]

D'accord, mais alors comment faire pour déterminer la valeur de théta pour laquelle l'aire du rectangle est maximale?

[jamo]

quand la question du max se pose , on pense dérivée et on annule la dérivée .

[invite20a62f7d]

Désolé d'insister mais je ne comprend pas ..

[gg0]

Alors il faut réétudier tes cours de première.
Au concours, tu auras besoin de tout savoir des programmes de la sixièma à la terminale. Inutile de dire "j'ai oublié", ce sera un concours où ceux qui sauront prendront les places.

Cordialement.

[invite20a62f7d]

D'accord, vous avez raison, je vais le faire de ce pas