Problème géométrique (avec des suites (?))

invitebbd6c0f9 · 13/02/2013, 10h39

Bonjour! C'est encore moi!

Un petit problème géométrique que j'ai à résoudre, et je ne vois pas la méthode pour procéder (oui toujours cette méthodologie...). Étant donné que notre cours porte sur les limites, je me suis intrigué quant à une résolution purement géométrique (mon esprit d'élève affûté a senti un piège!

)...

Sans plus tardé, voici le problème :

"sur la parabole d'équation y=x^2 on choisit un point M différent de l'origine. On trace le segment [OM] et sa médiatrice. Celle-ci (la médiatrice) coupe l'axe Oy en un point N. Calcule l'ordonnée de ce point en fonction des coordonnées du point M. Cette fonction est-elle définie en 0? Vers quelle valeur tend l'ordonnée de N lorsque M tend vers l'origine?"

Rien que pour calculer l'ordonnée de N, j'ai du mal... Je me suis bien évidemment fait un schéma, mais je ne vois pas comment calculer (Pythagore?)...

Merci de vos réponses

Cordialement

invite4842e1dc · 13/02/2013, 11h02

Salut

Travaille dans un repère du plan ( O, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ) orthonormé

Tu peux alors trouver les coordonnées du point N en calculant

- l'équation de la droite $\text{[math]}$

- puis l'équation de la médiatrice du segment [ $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ]

Indication 1 :
- Le point O a pour coordonnées ( 0 , 0 )
- Le point M a pour coordonnées ( $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ) avec $\text{[math]}$ quelconque
C'est "facile" de calculer les coordonnées du point I milieu de [O , M] en fonction de $\text{[math]}$

Indication 2 :
Comme le médiatrice est une droite qui est perpendiculaire à la droite $\text{[math]}$
si tu connais un vecteur directeur de la droite $\text{[math]}$
alors tu peux trouver un vecteur directeur de de la médiatrice du segment [ $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ]

Conclusion :
Avec ces 2 indications , tu peux calculer l'équation de cette médiatrice et en déduire les coordonnées du point N

invitebbd6c0f9 · 13/02/2013, 11h16

Je dirais que le point I a pour coordonnée (x/2;x^2/2) mais je n'en suis pas si sûr...

Désolé, il me semble que les Français voient les vecteurs avant les limites, mais ce n'est pas mon cas...

Je bloque donc sur l'équation de la droite OM...

On a trois points (0;0), (x/2;x^2/2) (si je ne dis pas de bêtises) et (x;x^2) il semblerait que l'équation soit y=y*x ce qui bien sûr doit être faux, je suis un peu dérouté...

Une aide pour me remttre sur le droit chemin, s'il vous plaît?

Merci d'avance

invitebbd6c0f9 · 13/02/2013, 11h22

[désolé pour le double-post]

Après avoir fait des calculs de la pente, j'obtiens x de pente pour le point (x/2;x^2/2) je pense que cela doit être faux, étant donné que sur mon schéma (et il me semble quelque soit OM) la droite n'est en tous cas pas de pente x...

Je cherche, mais je n'aboutis à rien...

Merci de votre aide, encore une fois

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**gg0** · 13/02/2013, 13h41

N étant sur la médiatrice de OM, NO=NM. En appelant y l'ordonnée de N et utilisant ON²=NM² on trouve une équation simple.

Cordialement.

invitebbd6c0f9 · 14/02/2013, 12h29

Bien!

Je trouve $\text{[math]}$ (y selon tes conditions gg0)

Par contre, je sais plus (ou pas) comment faire pour calculer NM (on sait N(0,y) et M(x, x^2))

Il me semble, sauf erreur, que c'est

$\text{[math]}$

Mais je ne suis plus très sûr...

Cordialement

**Lil00** · 14/02/2013, 14h24

Ca me semble juste.

Parles de NM² comme gg0 te l'as suggéré, tu éviteras de trainer des racines pour rien.

Il ne reste plus qu'à écrire ton équation ON²=NM² et à la résoudre.

invitebbd6c0f9 · 14/02/2013, 14h34

Bon bah content que mes mémoirs se révèlent justes … ^^

On a donc $\text{[math]}$

Je suis juste ?

(Et donc, pour x=0, on aurait $\text{[math]}$ , non?

Pourtant, ça me paraît bizarre d'avoir des négatifs... Humm....)

**Lil00** · 14/02/2013, 14h48

A un moment, tu as divisé ton équation par x²
Donc pour x=0... Ca ne veut pas dire grand'chose !!

D'ailleurs, regarde sur ton graphique, pour x=0, le problème n'est pas défini. C'est même précisé dans l'énoncé que M est distinct de O.

Vérifie pour d'autres valeurs (je ne l'ai pas fait)

invitebbd6c0f9 · 14/02/2013, 15h47

Ah ben oui forcément!

Soient (i) (ii) et (iii) les trois questions de l'énoncé :

(i) Comme vous me l'avez indiqué, $\text{[math]}$ .

(ii) Comme on divise par $\text{[math]}$ , la fonction n'est pas définie en zéro.

(iii) À vrai dire, je sais que la limite est 1/2. Mais je ne sais pas pourquoi, hélas !

Il me semble que $\text{[math]}$ ...

Donc ce n'est pas ça... Mais alors, qu'est-ce?

Merci d'avance pour votre aide

**Lil00** · 14/02/2013, 15h54

Je me répète :
C'est précisé dans l'énoncé que M est distinct de O.
Donc on se contrefiche de la valeur pour x=0, puisque tu ne peux pas construire la médiatrice et le point N !!

Par contre, il serait intelligent de vérifier que tu ne t'es pas trompé dans la résolution de ton équation en prenant d'autres valeurs de x, et de regarder sur le graphique si tu retrouves le y calculé pour N. Et je le redis, je ne l'ai pas fait !

**Lil00** · 14/02/2013, 16h02

Bon, je viens de vérifier et je trouve effectivement une erreur, qui n'a rien à voir avec la résolution mais avec la mise en équation :
Le carré de la distance entre deux point A et B n'est pas (y_A-y_B)²-(x_A-x_B)²
mais (y_A-y_B)²+(x_A-x_B)²

Désolée, on reprend donc l'équation...

invitebbd6c0f9 · 14/02/2013, 17h02

Héhé... Voilà qui change... On obtiens donc $\text{[math]}$ ...

Et donc, $\text{[math]}$ ...

Je crois que l'exercice est fini, je me trompe?

**Lil00** · 14/02/2013, 17h13

Je pense que c'est bon, oui !

invitebbd6c0f9 · 14/02/2013, 17h42

Parfait! Un grand merci =)

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