Votre avis sur cette inéquation ?

[invite79bf4f51]

Bonjour tout le monde

voilà en fait je n'arrive pas à résoudre cette inéquation

0 ≤ 3cos(2x) < (1+sin2x)^(1/2) + (1-sin2x)^(1/2)

(les exposants 1/2 c'est bien des racines)

quelqu'un saurait comment s'y prendre ? par où commencer ?

merci d'avance
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[invite8d4af10e]

par où commencer ?

par le commencement pardi
si 0<a<b ,que peux tu dire de a² et b² ?

[invite79bf4f51]

que a² < b² ?

[invite8d4af10e]

0<a²<b² donc tu l'appliques à ton inéquation , c'est pour supprimer les racines carrées d'où l'utilité d'élever au carré.
à toi

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite79bf4f51]

que a² < b² ?

avec ça si j'élève les deux membres au carré pour retirer les racines j'obtiens ceci

3cos²(2x) < ( (1+sin2x)^(1/2) + (1-sin2x)^(1/2) )²
(produit remarquable (a+b)² )

3cos²(2x) < 1+sin2x + 2 * (1+sin2x)^(1/2) * (1-sin2x)^(1/2) + 1-sin2x
(ensuite le (1+sin2x)^(1/2) * (1-sin2x)^(1/2) c'est aussi un produit remarquable a+b*a-b=a²-b²)

3cos²(2x) < 1+sin2x + 2 * 1-sin2x + 1-sin2x

3cos²(2x) < 1+sin2x + 2 -2sin2x + 1-sin2x

3cos²(2x) < 4 -2sin(2x)

c'est correcte jusque là ?

[invite79bf4f51]

0<a²<b² donc tu l'appliques à ton inéquation , c'est pour supprimer les racines carrées d'où l'utilité d'élever au carré.
à toi

oui j'ai commencé à l'appliquer après avoir posté ce message, j'aurais du commencer directement

[invite8d4af10e]

avec ça si j'élève les deux membres au carré pour retirer les racines j'obtiens ceci

3cos²(2x) < ( (1+sin2x)^(1/2) + (1-sin2x)^(1/2) )²
(produit remarquable (a+b)² )

(3cos(2x))² < 1+sin2x + 2 * (1+sin2x)^(1/2) * (1-sin2x)^(1/2) + 1-sin2x (3cos(2x))² =3²*cos²(2x)=9cos²(x)
(ensuite le (1+sin2x)^(1/2) * (1-sin2x)^(1/2) c'est aussi un produit remarquable a+b*a-b=a²-b²)

3cos²(2x) < 1+sin2x + 2 * 1-sin2x + 1-sin2x

3cos²(2x) < 1+sin2x + 2 -2sin2x + 1-sin2x

3cos²(2x) < 4 -2sin(2x)

c'est correcte jusque là ?

sqrt : racine carrée
non y a des erreurs , regarde ce qui est noté en gras .

[invite79bf4f51]

oui c'est 9cos²(2x) j'ai pas fait attention, mais concernant le deuxième produit remarquable il est juste finalement ? car tu as modifié ton message et je doute maintenant

[invite8d4af10e]

je trouve 0<=9cos²(2x)<2+2|cos(2x)|

[invite79bf4f51]

comment tu es arrivé à trouver le membre de droite ? tu as utilisé carnot ou une des formules de duplication ?

[invite8d4af10e]

a=sqrt(1+sin2x) b=sqrt (1-sin2x)
(a+b)²=a²+b²+2ab y a plus qu'à remplacer

[invite79bf4f51]

ca j'ai fait, c'est comme ça que j'ai obtenu la deuxième ligne

1+sin2x + 2 * (1+sin2x)^(1/2) * (1-sin2x)^(1/2) + 1-sin2x

[invite8d4af10e]

(1+sin2x)^(1/2) * (1-sin2x)^(1/2) = sqrt((1+sin(2x))*(1-sin(2x))
(a+b)(a-b)=a²-b² donc
sqrt((1+sin(2x))*(1-sin(2x))=sqrt(1-sin²(2x)) et comme cos²(2x)+sin²(2x)=1 donc ..............

[invite79bf4f51]

malin

oui je suis retombé sur ton résultat

0<=9cos²(2x)<2+2|cos(2x)|

mais ça m'as pas l'air plus simple

[invite8d4af10e]

d'abord tu vas m'expliquer pourquoi tu as mis la valeur absolue .
pour résoudre ça , il faudra distinguer deux cas cos(2x)>=0 alors |cos(2x)| =.... et cos(2x)<=0 |cos(2x)| =....
après tu passes tu poseras z=cos(2x) et ça te raménare à une equation du second degré que tu sais résoudre .

[invite79bf4f51]

la valeur absolue parce que cos²(2x) était sous une racine carrée
mais je t'avoue que je n'aurais pas pensé si tu les avais pas mises

merci bcp pour tes explications je vais terminer ça de mon côté

[invite8d4af10e]

pas de souci

[invite79bf4f51]

je crois qu'il y a une erreur

j'ai vérifié avec un traceur de fonction et quand j'entre la forme 0<=9cos²(2x)<2+2cos(2x)
(j'ai entré les 2 fonctions et j'ai regardé quand le membre de droite était plus grand que le membre de gauche et le tout supérieur à zéro)

je vois que l'inéquation est respectée sur les intervalles des x : de 0.48 à 0.98 ensuite de 2.17 à 2.67
J'ai retrouvé ces 4 valeurs en résolvant cette forme (second degré)
1.jpg


pareil pour l'autre forme 0 ≤ 3cos(2x) < (1+sin2x)^(1/2) + (1-sin2x)^(1/2)
(j'ai entré les 2 fonctions et regardé quand le membre de droite était plus grand que celui de gauche et le tout supérieur à zéro)

je vois que l'inéquation est respectée sur les intervalles des x : de 0.48 à 0.79 ensuite de 2.35 à 2.67
2.jpg


Si les 2 formes étaient équivalentes l'inéquation devrait être respectée sur les mêmes intervalles non ?

[invite8d4af10e]

Bonjour
si |cos (2x)|>=0 alors |cos (2x)|= cos(2x) sinon - cos(2x)
1 cas : >=0 alors
tu peux transformer 2+2cos(2x) = 2(1+cos 2x)=2(cos²x+ sin²x + cos²x-sin²x) = 4cos²x
9cos² x <4cos²x => 9cos²x- 4cos²x <0 => 5cos²(x)<0 alors .....
2 cas : 2-2cos(2x)=2(1-cos(2x))=2(cos²x + sin²x -cos²x+ sin²x)= 4sin²x
9cos² x < 4sin²x => cotg² (x) < 4/9 =>1/tg²(x)<4/9 .............
en espérant que j'ai pas commis de bourdes , if oui désolé

[gg0]

Jamo,

fais attention à ce que tu écris :

"si |cos (2x)|>=0 alors ..."
|cos (2x)|>=0 est toujours vrai, donc le "si" est absurde ("si 1+1=2 alors ..."). La condition est :
si cos (2x)>=0 alors ...

De plus, dans cet exercice, on sait que cos(2x) est positif !!!

Cordialement.

[invite8d4af10e]

Bonjour Gg0
merci d'avoir corrigé mon erreur