Validité d'un énoncé

[Papyprof]

Bonjour,

Que pensez-vous de l'énoncé suivant :

Si le segment joignant le milieu d'un coté d'un triangle et un point d'un autre coté a une longueur égale à la moitié du troisième coté et si ce segment se trouve le plus prés possible du troisième coté alors ce segment joint les milieux des deux premiers cotés.


Peut-on l'appeler théorème ?

Complément 1 : Le segment qui joint les milieux des deux premiers cotés est parallèle au 3° coté.
Complément 2 : Il y a 2 segments s'appuyant sur les 2 premiers cotés et de longueur égale à la moitié du troisième coté
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[S321]

Bonjour,

On appel théorème toute propriété dont on peut démontrer qu'elle est vraie. Mais votre énoncé me semble tout de même assez peu clair. Ce que vous voulez dire c'est que :
"Si ABC est un triangle, I est le milieu de [AB] et J est un point de [BC] tels que IJ=AC/2 alors J et le milieu de [BC]"

Il faudrait que vous précisiez ce que vous entendez par "ce segment se trouve le plus près possible du troisième côté", mais quoi qu'elle signifie cette condition est inutile l'énoncé s'en passe très bien. Tel que je l'ai énoncé c'est une application de la réciproque au théorème de Thalès.

Complément 2 : Il y a 2 segments s'appuyant sur les 2 premiers cotés et de longueur égale à la moitié du troisième coté

Ça, j'ai un peu de mal à y croire.

[Papyprof]

Bonjour,

On appel théorème toute propriété dont on peut démontrer qu'elle est vraie. Mais votre énoncé me semble tout de même assez peu clair. Ce que vous voulez dire c'est que :
"Si ABC est un triangle, I est le milieu de [AB] et J est un point de [BC] tels que IJ=AC/2 alors J et le milieu de [BC]"

Il faudrait que vous précisiez ce que vous entendez par "ce segment se trouve le plus près possible du troisième côté", mais quoi qu'elle signifie cette condition est inutile l'énoncé s'en passe très bien. Tel que je l'ai énoncé c'est une application de la réciproque au théorème de Thalès.


Ça, j'ai un peu de mal à y croire.

FACILE à voir par exemple avec un triangle rectangle en B. Tracer I milieu de AB : il y a 2 points J sur AC tels que IJ = BC / 2. D'accord pour J1 et J2?
Ceci explique mon énoncé ...

[gg0]

Bonsoir.

Peut-on l'appeler théorème ?

Non, car le passage "si ce segment se trouve le plus prés possible du troisième coté" n'a pas de signification.

L'existence de deux segments égaux à la moitié du troisième côté peut sans doute être démontrée, et le fait qu'un des deux est parallèle au troisième côté aussi, et même le fait que ce segment parallèle au troisième côté sépare l'intérieur du triangle en deux zones, l'autre segment étant dans la zone qui contient le sommet, pas dans celle qui contient le troisième côté.
Mais la rédaction d'un théorème doit être précise, concise et surtout claire.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[S321]

FACILE à voir par exemple avec un triangle rectangle en B. Tracer I milieu de AB : il y a 2 points J sur AC tels que IJ = BC / 2. D'accord pour J1 et J2?
Ceci explique mon énoncé ...

Vous l'affirmez, mais vous ne démontrez rien.

En revanche je viens à l'instant de prendre un papier et un crayon, de dessiner un triangle rectangle en B comme vous me l'avez conseillé. J'ai placé I le milieu de [AB] puis j'ai prit mon compas et tracé le cercle de centre I et de rayon BC/2. Il n'a coupé le segment [AC] qu'en un seul point.

C'est pour ça que je vous ai dit avoir un peu de mal à croire à votre résultat, c'était une litote, je pense assez sérieusement qu'il est faux. Attention je n'affirme pas qu'il n'y a jamais deux points J1 et J2 de [AC] qui vérifient IJ1=IJ2=BC/2, je dis juste qu'on ne peut pas affirmer qu'il y en a toujours deux.

[Papyprof]

Vous l'affirmez, mais vous ne démontrez rien.

En revanche je viens à l'instant de prendre un papier et un crayon, de dessiner un triangle rectangle en B comme vous me l'avez conseillé. J'ai placé I le milieu de [AB] puis j'ai prit mon compas et tracé le cercle de centre I et de rayon BC/2. Il n'a coupé le segment [AC] qu'en un seul point. IMPOSSIBLE FAITES UN SCHEMA CORRECT

C'est pour ça que je vous ai dit avoir un peu de mal à croire à votre résultat, c'était une litote, je pense assez sérieusement qu'il est faux. Attention je n'affirme pas qu'il n'y a jamais deux points J1 et J2 de [AC] qui vérifient IJ1=IJ2=BC/2, je dis juste qu'on ne peut pas affirmer qu'il y en a toujours deux.

IL Y EN A TOUJOURS 2 CAR LE SEGMENT IJ2 (parallèle à BC) N'EST PAS PERPENDICULAIRE A AC, il Y A DONC 2 POINTS COMMUNS AU CERCLE ET A AC ...

[pelkin]

IL Y EN A TOUJOURS 2 CAR LE SEGMENT IJ2 (parallèle à BC) N'EST PAS PERPENDICULAIRE A AC, il Y A DONC 2 POINTS COMMUNS AU CERCLE ET A AC ...

Inutile de crier, personne ici n'est malentendant, à part vous peut être , COMPRIS

[Papyprof]

Vous l'affirmez, mais vous ne démontrez rien.

En revanche je viens à l'instant de prendre un papier et un crayon, de dessiner un triangle rectangle en B comme vous me l'avez conseillé. J'ai placé I le milieu de [AB] puis j'ai prit mon compas et tracé le cercle de centre I et de rayon BC/2. Il n'a coupé le segment [AC] qu'en un seul point.

Impossible, faites un schéma correct il y a 2 points quel que soit le triangle..
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C'est pour ça que je vous ai dit avoir un peu de mal à croire à votre résultat, c'était une litote, je pense assez sérieusement qu'il est faux. Attention je n'affirme pas qu'il n'y a jamais deux points J1 et J2 de [AC] qui vérifient IJ1=IJ2=BC/2, je dis juste qu'on ne peut pas affirmer qu'il y en a toujours deux.

Il y en a toujours 2 car le segment IJ2 (parallèle à BC) n'est pas perpendiculaire à AC. Par conséquent AC est une sécante au cercle.

Compris ??

[S321]

Mon schéma est correct, j'ai utilisé une règle et un compas pour le faire. J'ai dessiné le triangle pythagoricien AB=3cm, BC=4cm et CA=5cm qui est bien sûr rectangle en B. J'ai ensuite placé le point I et tracé au compas le cercle de centre I et de rayon 2cm (2cm étant la moitié de BC qui mesure 4cm). Ce cercle coupe la droite (AC) en deux points, l'un de ces points est le point milieu de [AC] et l'autre point n'appartient pas au segment [AC] (et il se trouve même assez loin à l'extérieur de ce segment pour que ce ne soit pas une illusion d'optique).

Je suis aussi tout à fait en mesure de proposer une démonstration algébrique du résultat (un dessin n'étant somme toute pas une preuve). Mais ce serait contraire à la politique du forum et je préfère simplement vous faire remarquer que vos arguments aussi passionnés et hurlés soient-ils ne constitue pas une preuve mathématique.

IL Y EN A TOUJOURS 2 CAR LE SEGMENT IJ2...

Vous voulez me démontrer qu'il y a deux points, J1 et J2, vous ne pouvez pas le justifier en invoquant un certains segment IJ2. Vous présupposez de l'existence du point J2 alors que c'est ce que vous essayez de démontrer.

(parallèle à BC) N'EST PAS PERPENDICULAIRE A AC

AC et BC sont les notations qui désignent les longueurs des segments [AC] et [BC]. Or je crois comprendre que vous voulez parler des droites (AC) et (BC). Une longueur, un segment et une droite sont des choses différentes, si vous les confondez vos raisonnements sont nécessairement faux.

il Y A DONC 2 POINTS COMMUNS AU CERCLE ET A AC ...

Le lien logique entre les éléments de votre raisonnement est extrêmement flou. Ce "donc" n'est pas le signe que vous utilisez un théorème dont vous venez de vérifier les hypothèses et vous apprêtez à donner la conclusion, il s'agit d'un mode de raisonnement par "évidence" de la conclusion à reconstruire à partir de donnés parcellaires et de propriétés qui "devraient" être vraies.
Et encore une fois vous confondez des objets mathématiques. Vous dites dans cette phrase qu'il y a des points en commun à un cercle et à une... longueur.

[Papyprof]

Comme les mathématiciens je vais respecter les notations de droite, de segment, de longueur :
droite : (AB)
segment : [AB]
longueur : AB
______________________________ ________________________
Soit un triangle ABC et I le milieu du segment [AB].
Il existe 2 points J1 et J2 de la droite (AC) tels que IJ1 = IJ2 = BC / 2
L’un de ces points, disons J1, est au milieu du segment AC.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

De plus les segments [IJ1] et [BC] sont parallèles.

[Médiat]

Bonjour,

______________________________ ________________________
Soit un triangle ABC et I le milieu du segment [AB].
Il existe 2 points J1 et J2 de la droite (AC) tels que IJ1 = IJ2 = BC / 2
L’un de ces points, disons J1, est au milieu du segment AC.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Alors pourquoi ne pas écrire :

Soit un triangle ABC et I le milieu du segment [AB].
Il existe 1 points J du segment [AC] tels que IJ = BC / 2.
Ce point est au milieu de [AC]

Comme l'a fait S321 dès le message #2 de ce fil ?

J'ajoute que la deuxième phrase est déjà une affirmation non démontrée.

[Papyprof]

Le premier énoncé est toujours correct :

Soit un triangle ABC et I le milieu du segment [AB].
Il existe 2 points J1 et J2 de la droite (AC) tels que IJ1 = IJ2 = BC / 2
L’un de ces points, disons J1, est au milieu du segment AC
_________________________
Votre énoncé :
Soit un triangle ABC et I le milieu du segment [AB].
Il existe 1 points J du segment [AC] tel que IJ = BC / 2.
Ce point est au milieu de [AC].
_ _ _ _ _ _
Votre énoncé est moins correct

On peut parfois avoir 2 points J du segment [AC] tels que IJ = BC / 2. (Il suffit par exemple de considérer un triangle isocèle en A ayant AB = AC très longs)