Calcul d'intégrale

[Samuel9-14]

Bonjour à tous, j'ai un doute concernant un calcul d'intégral...

Pouriez vous me confirmer/ m'infirmer que quelque soit , on a :



Parce qu'en fait je trouve ça, mais pour la suite de l'exercice il faut montrer que la suite I définie par converge, or avec mon résultat, ça ne converge pas du tout ^^

Il faudrait trouver une intégrale admettant une variable, mais ici 0ⁿ = 0 quelque soit n et 1ⁿ=1 quelque soit n, donc dans le calcul on peut "supprimer" les n, non ?

Enfin, on n'a pas vu les primitives des logarithmes népriens en classe, mais en cherchant sur internet j'ai lu que :
(u*ln(u) - u)'=ln(u)

Merci d'avance pour votre aide
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[Seirios]

Bonjour,

L'intégrale dépend très probablement de : pour de grands valeurs de , devient proche de (), donc sera probablement très proche de par rapport à .

Tu as dû faire une erreur quelque part. Comment as-tu raisonné ?

[ansset]

....................doublon

[danyvio]

Perso, je trouve 2.ln(2)-1, mais je ne comprends pas la demande concernant la suite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

décidement.
je trouve simplement ln(2) qcq soit n en intégrant par partie.
j'ai du aller trop vite.

[Jeanpaul]

Ca ne peut pas être constant parce quand on passe de n à n+1, la grandeur à intégrer décroît donc l'intégrale est positive et décroissante, donc ça converge.
Si on regarde le cas n=2, on trouve en intégrant par parties que ça vaut (sauf erreur) Ln(2) - 2 + pi/2

[ansset]

OK, je verifie,
j'ai pensé converge et j'ai ecrit = ln(2)
pardon

[Samuel9-14]

"Perso, je trouve 2.ln(2)-1, mais je ne comprends pas la demande concernant la suite."

J'ia trouvé la même chose, j'avais oublié le 2 devant ln.
A tous les autres, je suis d'accord avec vous, quand on teste à la calculatrice, on voit bien que ça décroit et puis ça parait logique, intuitivement, pourtant pas moyen de trouver une intégrale en fonction de n...

@Seirios, xⁿ+1 tend vers 1 ? Je comprends pas pourquoi...

Sinon voilà mes calculs...

F(x)=(1+xⁿ)*ln(1+xⁿ)-(1+xⁿ)
F(x)=(1+xⁿ)[ln(1+xⁿ)-1]

F(1)=(1+1ⁿ)[ln(1+1ⁿ)-1]
F(1)=2[ln(2)-1]
F(1)=2*ln(2)-2

F(0]=(1+0ⁿ)[ln(1+0ⁿ)-1]
F(0)=1[ln(1)-1]
F(0)=ln(1)-1

F(1)-F(0)= 2ln(2)-2 - [ln(1)-1]
F(1)-F(0)= 2ln(2)-2-ln(1)+1
F(1)-F(0)=2ln(2)-2-0+1
F(1)-F(0)=2ln(2)-1

(J'ai vraiment tout tout rédigé au cas où j'aurais fait une petite erreur qui change tout ^^)

@Jean-Paul, on n'a pas du tout vu l'intégration par partie qui n'est plus au programme. Quand j'intègre pour n=2, ben je trouve toujours la même chose ^^

[Seirios]

@Seirios, xⁿ+1 tend vers 1 ? Je comprends pas pourquoi...

De manière équivalente, si ; en effet, si , alors donc , autrement dit .

Sinon voilà mes calculs...

F(x)=(1+xⁿ)*ln(1+xⁿ)-(1+xⁿ)

Si tu dérives F, tu verras que ce n'est pas une primitive de ta fonction.

[Samuel9-14]

Ha bah voilà d'où vient mon erreur... Je me doutais bien que ce serait un truc du genre...

Quelle est la formule alors pour déterminer une primitive de ln(u) ? On ne l'a pas vue en cours...

[Seirios]

A priori, on ne connaît pas de primitive de pour une fonction quelconque. Pour montrer la convergence de lorsque , tu peux utiliser l'indication donnée par Jeanpaul : étudier la monotonie de la suite.

[Samuel9-14]

En fait j'ai trois questions dans cet exercice :

1-> Montrer que
2-> Etudier la monotonie de la suite
3-> En déduire qu'elle converge

Donc pour la 1 je vois pas vraiment comment faire, j'ai réussi à montrer que c'était strictement positif, pas de problème. J'avais aussi trouvé que c'était inférieur à ln(2) (2ln(2) - 1) mais c'était donc faux.

On pourrait soit faire I_n - ln(2) mais je vois mal comment faire le calcul
Soit faire par récurrence, mais là encore je vois mal comment faire l'initialisation...

[Seirios]

Le logarithme est croissant, donc il suffit de majorer par (puisque ).

[Samuel9-14]

Mais la fonction qui à x associe ln(1+x^n) est définie sur [0;+l'infini], x n'est pas inférieur à 1...


PS : Aaaaaah ben si, parce qu'on intègre de 0 à 1...
Tout simplement ^^

Merci beaucoup !

[Erdnalexa]

Bonjour,
Pour tout et pour tout
On a :
Or : .
On pose , on a :

Or est strictement croissante sur (je te laisse le vérifier)
On obtient :
(relation de Chasles)
Or, puisque ,
donc

Pour résumer on a :

Sauf que , donc on fait tendre a vers 1 et c'est joué on a :


En espérant que ça puisse aider.

[Samuel9-14]

Salut, en fait je préfère tout trouver moi-même en ne demandant que certains points précis, donc merci pour ce beau corrigé mais je préfère trouver seul

Seirios, quand on a montré que ln(1+x^n)<ln(2), on peut directement dire que l'intégrale de 0 à 1 est inférieure à ln(2) ?
(Bon c'est sans doute un truc de cours, j'ai honte ^^)

[Seirios]

Seirios, quand on a montré que ln(1+x^n)<ln(2), on peut directement dire que l'intégrale de 0 à 1 est inférieure à ln(2) ?
(Bon c'est sans doute un truc de cours, j'ai honte ^^)

Les inégalités passent sous l'intégrale, donc .

[Seirios]

Pour résumer on a :

Sauf que , donc on fait tendre a vers 1 et c'est joué on a :

Attention tout de même à ne pas écrire des limites dont on ne connaît pas a priori l'existence. Cela dit, il me paraît plus simple de majorer par .

[Erdnalexa]

J'ai essayé d'adapter à ton niveau, je ne suis pas sûr que ce soit parfaitement rigoureux. De plus, après réflexion, c'est peu probablement la méthode qu'attend ton prof mais ça te donne une méthode de résolution

[Erdnalexa]

Je n'ai pas vérifier pour la limite mais ça doit pas être bien dur de montrer la convergence uniforme sur [0,1[
et avec c'est le même problème en 1 finalement, parce que tu vas trouver que l'intégrale sera majorée par... ah bah oui, au temps pour moi, ça passe.

[Jeanpaul]

J'admire le graphisme, mais on s'en sort plus simplement si on remarque que Ln(1+u)<= u (parce que la fonction Ln est convexe, faire un graphe) donc on voit que l'intégrale est positive et inférieure à 1/(n+1) et c'est bouclé.

[Samuel9-14]

Les inégalités passent sous l'intégrale, donc .

Ouais finalement c'est ce que j'avais fait, j'avais pas remarqué au début que l'intégrale de ln(2) de 0 à 1 valait... ln(2), ce qui est en fait plutôt logique

@Jeanpaul : On n'a jamais parlé de convexité etc... donc je peux pas m'en servir

Mais de toutes façons pour montrer la convergence de In, on étudie sa monotonie, après on a juste à dire qu'elle converge, on 'na pas (encore) à préciser vers quoi elle converge
C'est en fait la suite de l'exercice, on nous fait démontrer avec une étude de fonction que ln(1+x^n) x^n ce qui permet de conclure.

[Samuel9-14]

Rebonjour, toujours pour mon exercice j'ai une petite question mais cette fois c'est pour de la rédaction.
J'ai montré que
Je dois montrer que

Pour rédiger j'ai posé la variable
On a ainsi :
d'où :

J'ai pas l'impression d'avoir démontré quoi que ce soit, juste rédigé... J'aimerais donc savoir si ma rédaction est correcte !

[Seirios]

A partir du moment où tu montres l'inégalité pour x, tu peux mettre ce que tu veux à la place du x ; c'est une variable muette.

Ta rédaction est correcte, mais je ne pense pas qu'elle soit nécessaire. Pour ma part, je mettrais simplement : comme pour tout , alors pour tous et .

[Samuel9-14]

Ok merci bien